ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 1 Макарычев — Подробные Ответы

1. Приведите примеры рациональных чисел.
2. Приведите пример числового выражения и выражения с переменными.
3. Имеет ли смысл выражение: \(\frac{36}{2 \cdot 16 — 32}\); \(\frac{42 — 6 \cdot 7}{37 — 11}\)?
4. Сравните значения выражений \(x + 3\) и \(3x\) при \(x = -4; 1,5; 5\).
5. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его.
6. Как читаются знаки \(\geq\) и \(\leq\)? Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим? Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.

1. Рациональные числа — это целые и дробные числа.
Примеры: -7; 0; \(\frac{1}{8}\).

2. Числовое выражение — это выражение из чисел, знаков действий и скобок.
Примеры: \(15 : 3 + 16 \cdot 2\), \(\frac{15 + 20}{7} + 15\), \(45 : 5 + 3,5 \cdot (5,5 — 2)\).
Выражение с переменными — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок.
Примеры: \(15c : 3 + 20a\), \(15a + 18b\), \(15y + 2\).

3. Выражение не имеет смысла, если знаменатель равен нулю.
Проверим:
\(\frac{36}{2 \cdot 16 — 32}\),
\(2 \cdot 16 — 32 = 32 — 32 = 0\), значит выражение не имеет смысла.

\(\frac{42 — 6 \cdot 7}{37 — 11}\),
\(37 — 11 = 26 \neq 0\), значит выражение имеет смысл.

4. Сравним \(x + 3\) и \(3x\) при разных \(x\):

При \(x = -4\):
\(x + 3 = -4 + 3 = -1\),
\(3x = 3 \cdot (-4) = -12\),
значит \(x + 3 > 3x\).

При \(x = 1,5\):
\(x + 3 = 1,5 + 3 = 4,5\),
\(3x = 3 \cdot 1,5 = 4,5\),
значит \(x + 3 = 3x\).

При \(x = 5\):
\(x + 3 = 5 + 3 = 8\),
\(3x = 3 \cdot 5 = 15\),
значит \(x + 3 < 3x\).

5. Двойное неравенство — неравенство с двумя знаками сравнения:
\(-5 < 1 \leq 3\) — число 1 больше -5, но меньше или равно 3.
\(8 < 10 < 12\) — число 10 больше 8 и меньше 12.
\(-10 < a < 1\) — число \(a\) больше -10 и меньше 1.

6. Знаки:
\(\geq\) — «больше или равно»,
\(\leq\) — «меньше или равно».

Строгое неравенство — с знаками \(>\) или \(<\).
Пример: \(5 < 8 < 10\), \(a < 0\).

Нестрогое неравенство — с знаками \(\geq\) или \(\leq\).
Пример: \(-3 \leq x \leq 13\), \(a \leq 10\).

1. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, при этом знаменатель не равен нулю. Это могут быть как целые числа, так и дробные. Например, числа \(-7\), \(0\) и \(\frac{1}{8}\) являются рациональными, так как \(-7\) и \(0\) — целые числа, а \(\frac{1}{8}\) — дробное число с целыми числителем и знаменателем.

Рациональные числа широко используются в математике, так как они покрывают множество чисел, с которыми мы часто сталкиваемся в повседневной жизни и в задачах. Они включают в себя положительные и отрицательные числа, а также ноль. Все эти примеры можно записать в виде дроби, что и определяет их как рациональные.

2. Числовое выражение — это комбинация чисел, знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок, которые задают порядок выполнения операций. Например, выражения \(15 : 3 + 16 \cdot 2\) или \(\frac{15 + 20}{7} + 15\) являются числовыми выражениями, так как состоят только из чисел и математических операций.

Выражение с переменными отличается тем, что в нем присутствуют буквы, обозначающие неизвестные или меняющиеся значения. Такие выражения составляются из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, указывающих порядок выполнения действий. Примеры: \(15c : 3 + 20a\), \(15a + 18b\) и \(15y + 2\). Переменные позволяют создавать общие формулы и решать задачи с неизвестными величинами.

3. Выражение не имеет смысла, если в нем присутствует деление на ноль, так как деление на ноль не определено в математике. Рассмотрим первое выражение \(\frac{36}{2 \cdot 16 — 32}\). Вычислим знаменатель: \(2 \cdot 16 — 32 = 32 — 32 = 0\). Поскольку знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла.

Во втором выражении \(\frac{42 — 6 \cdot 7}{37 — 11}\) вычислим знаменатель: \(37 — 11 = 26\), который не равен нулю. Значит, это выражение имеет смысл и может быть вычислено. Таким образом, проверка знаменателя — обязательный шаг при работе с дробями.

4. Рассмотрим два выражения: \(x + 3\) и \(3x\), и сравним их значения при разных значениях \(x\).

При \(x = -4\):
\(x + 3 = -4 + 3 = -1\),
\(3x = 3 \cdot (-4) = -12\).
Поскольку \(-1 > -12\), получаем, что \(x + 3 > 3x\).

При \(x = 1,5\):
\(x + 3 = 1,5 + 3 = 4,5\),
\(3x = 3 \cdot 1,5 = 4,5\).
Значения равны, то есть \(x + 3 = 3x\).

При \(x = 5\):
\(x + 3 = 5 + 3 = 8\),
\(3x = 3 \cdot 5 = 15\).
Так как \(8 < 15\), то \(x + 3 < 3x\).

Таким образом, в зависимости от значения \(x\), выражения \(x + 3\) и \(3x\) могут быть как больше, так и равны или меньше друг друга.

5. Двойное неравенство — это неравенство, в котором используется сразу два знака сравнения, позволяющих ограничить значение переменной с двух сторон. Например, \(-5 < 1 \leq 3\) означает, что число 1 больше \(-5\), но при этом меньше или равно 3. Аналогично, \(8 < 10 < 12\) показывает, что число 10 находится между 8 и 12.

Еще один пример: \(-10 < a < 1\) означает, что переменная \(a\) больше \(-10\) и меньше 1. Такие неравенства помогают задавать диапазоны значений для переменных, что важно при решении различных задач.

6. Знаки \(\geq\) и \(\leq\) читаются как «больше или равно» и «меньше или равно» соответственно. Они используются в нестрогих неравенствах, где допускается равенство. Строгое неравенство, напротив, использует знаки \(>\) и \(<\), которые означают строго больше или строго меньше без равенства.

Пример строгого неравенства: \(5 < 8 < 10\), где значения строго увеличиваются. Пример нестрогого неравенства: \(-3 \leq x \leq 13\), где \(x\) может быть равно \(-3\) или 13, а также принимать значения между ними. Понимание разницы между строгими и нестрогими неравенствами важно для точного решения математических задач.