ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 11 Макарычев — Подробные Ответы

1. Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.
2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.
3. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
4. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
5. Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб двучлен \(a + 2b\).
6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб двучлен \(3x — y\).

1. Формула квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Доказательство: \((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2. Формула квадрата разности: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
Доказательство: \((a — b)^2 = (a — b)(a — b) = a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2\)

3. Примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата суммы:
\(25y^2 + 40y + 16 = (5y + 4)^2\)
\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)
\(81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2\)

4. Примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата разности:
\(81x^2 — 18x + 1 = (9x — 1)^2\)
\(4x^2 — 12x + 9 = (2x — 3)^2\)
\(16x^2 — 8x + 1 = (4x — 1)^2\)

5. Формула куба суммы: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a + 2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2b + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3\)

6. Формула куба разности: \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)
\((3x — y)^3 = (3x)^3 — 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot 3x \cdot y^2 — y^3 = 27x^3 -\)
\(- 27x^2y + 9xy^2 — y^3\)

1. Формула квадрата суммы выражается как \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Это равенство показывает, что если мы возьмём сумму двух чисел \(a\) и \(b\) и возведём её в квадрат, то результат можно разложить на три слагаемых: квадрат первого числа, удвоенный произведение первого и второго числа и квадрат второго числа. Чтобы понять это, рассмотрим выражение \((a + b)^2\) как произведение \((a + b)(a + b)\). Раскрывая скобки по правилу распределения умножения относительно сложения, получаем \(a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b\), что равно \(a^2 + ab + ab + b^2\). Сложив одинаковые слагаемые \(ab + ab\), получаем \(2ab\), и итоговое выражение принимает вид \(a^2 + 2ab + b^2\).

Это разложение важно, поскольку оно позволяет упростить вычисления и преобразования в алгебре и анализе. Например, при решении уравнений или при вычислении площади квадрата со стороной \((a + b)\), формула даёт точный способ выразить площадь через отдельные части, связанные с \(a\) и \(b\). Кроме того, она часто используется при факторизации многочленов и доказательстве различных алгебраических тождеств.

Также стоит отметить, что эта формула является частным случаем более общего правила для возведения суммы в степень, и её понимание помогает в изучении биномиальной теоремы и комбинаторики. Она служит фундаментом для работы с квадратами выражений и их преобразованиями в математике разных уровней.

2. Формула квадрата разности имеет вид \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Здесь, как и в предыдущем случае, мы возводим в квадрат разность двух чисел \(a\) и \(b\). При раскрытии скобок \((a — b)(a — b)\) используем дистрибутивное свойство умножения: \(a \cdot a — a \cdot b — b \cdot a + b \cdot b\). Это даёт \(a^2 — ab — ab + b^2\). Сложив одинаковые слагаемые \(-ab — ab\), получаем \(-2ab\), и итоговое выражение принимает вид \(a^2 — 2ab + b^2\).

Данная формула отражает, что квадрат разности двух чисел равен сумме квадратов этих чисел за вычетом удвоенного произведения этих чисел. Это важно для понимания того, как изменяется значение выражения при вычитании и возведении в квадрат. Она часто используется для упрощения выражений, а также в геометрии при вычислении расстояний и разностей.

Кроме того, формула квадрата разности помогает при факторизации и преобразовании выражений, где встречается разность в квадрате. Она является основой для многих алгебраических приёмов и служит инструментом для решения уравнений, где присутствует выражение вида \((a — b)^2\).

3. Рассмотрим примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата суммы. Первый пример — \(25y^2 + 40y + 16\). Чтобы понять, как его представить в виде квадрата суммы, нужно найти такие числа, что первый и последний члены будут квадратами, а средний член — удвоенным произведением этих чисел. Здесь \(25y^2 = (5y)^2\) и \(16 = 4^2\). Средний член \(40y\) можно представить как \(2 \cdot 5y \cdot 4\), что совпадает с формулой квадрата суммы. Следовательно, весь трёхчлен равен \((5y + 4)^2\).

Второй пример — \(x^2 + 4x + 4\). Здесь \(x^2 = (x)^2\) и \(4 = 2^2\), а средний член \(4x\) совпадает с \(2 \cdot x \cdot 2\). Таким образом, это выражение можно записать как \((x + 2)^2\). Третий пример — \(81x^2 + 18x + 1\). Квадраты первого и последнего членов: \(81x^2 = (9x)^2\), \(1 = 1^2\). Средний член \(18x\) равен \(2 \cdot 9x \cdot 1\), что соответствует формуле квадрата суммы, и значит, выражение равно \((9x + 1)^2\).

Такие преобразования полезны для упрощения выражений, решения квадратных уравнений и анализа функций. Они позволяют увидеть структуру многочлена и быстро найти корни или оценить поведение функции без полного разложения.

4. Примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата разности, имеют схожую логику, но с минусом между слагаемыми. Первый пример — \(81x^2 — 18x + 1\). Здесь первый и последний члены — квадраты: \(81x^2 = (9x)^2\), \(1 = 1^2\). Средний член \(-18x\) равен \(-2 \cdot 9x \cdot 1\), что соответствует формуле квадрата разности. Следовательно, это выражение равно \((9x — 1)^2\).

Второй пример — \(4x^2 — 12x + 9\). Здесь \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), а средний член \(-12x\) равен \(-2 \cdot 2x \cdot 3\). Значит, выражение можно записать как \((2x — 3)^2\). Третий пример — \(16x^2 — 8x + 1\). Квадраты первого и последнего членов: \(16x^2 = (4x)^2\), \(1 = 1^2\), а средний член \(-8x\) равен \(-2 \cdot 4x \cdot 1\), что соответствует формуле квадрата разности, и значит, выражение равно \((4x — 1)^2\).

Такое представление помогает быстро выявлять структуру выражения и использовать свойства квадратов для дальнейших преобразований, решения уравнений и анализа функций.

5. Формула куба суммы выражается как \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Она показывает, что куб суммы двух чисел равен сумме куба первого числа, трёхкратного произведения квадрата первого на второе, трёхкратного произведения первого на квадрат второго и куба второго числа. Для примера рассмотрим \((a + 2b)^3\). Подставляя, получаем \(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2b + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3\). Вычисляя степени и умножения, получаем \(a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3\).

Этот разбор показывает, как при возведении суммы в куб учитываются все возможные произведения с соответствующими коэффициентами. Формула важна для раскрытия степеней и упрощения выражений, а также для решения задач, связанных с многочленами третьей степени.

6. Формула куба разности записывается как \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\). Здесь куб разности равен разности куба первого числа, трёхкратного произведения квадрата первого на второе, трёхкратного произведения первого на квадрат второго и куба второго числа, с чередующимися знаками. Рассмотрим пример \((3x — y)^3\). Раскрывая, получаем \((3x)^3 — 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot 3x \cdot y^2 — y^3\). Вычисляя степени и умножения, получаем \(27x^3 — 27x^2y + 9xy^2 — y^3\).

Эта формула помогает раскрывать кубы разностей, что важно для упрощения выражений и решения уравнений третьей степени. Знание её структуры позволяет быстро и точно работать с алгебраическими выражениями, где встречаются кубы сумм или разностей.