ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 12 Макарычев — Подробные Ответы

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.
2. Чему равна разность квадратов двух выражений? Напишите соответствующую формулу.
3. Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.
4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.
5. Разложите на множители многочлен \(16t^{2} — 1\); \(p^{3} + 8\); \(m^{3} — 27\).

1. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:
\((a — b)(a + b) = a^{2} — b^{2}\)
Доказательство:
\((a — b)(a + b) = a^{2} — ab + ab — b^{2} = a^{2} — b^{2}\)

2. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
\(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\)

3. Формула суммы кубов:
\(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\)
Доказательство:
\((a + b)(a^{2} — ab + b^{2}) = a^{3} — a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b — ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}\)

4. Формула разности кубов:
\(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\)
Доказательство:
\((a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} + a^{2}b + ab^{2} — a^{2}b — ab^{2} — b^{3} = a^{3} — b^{3}\)

5. Разложение на множители:
\(16t^{2} — 1 = (4t — 1)(4t + 1)\) (разность квадратов)
\(p^{3} + 8 = (p + 2)(p^{2} — 2p + 4)\) (сумма кубов)
\(m^{3} — 27 = (m — 3)(m^{2} + 3m + 9)\) (разность кубов)

1. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это означает, что если у нас есть два выражения \(a\) и \(b\), то при умножении выражения \((a — b)\) на выражение \((a + b)\) мы получим разность квадратов \(a\) и \(b\). Формально это записывается как \((a — b)(a + b) = a^{2} — b^{2}\). Чтобы понять почему это так, нужно раскрыть скобки в произведении.

Раскрывая скобки, мы умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй. Получаем: \(a \cdot a = a^{2}\), \(a \cdot b = ab\), \(-b \cdot a = -ab\), \(-b \cdot b = -b^{2}\). Далее складываем все полученные члены: \(a^{2} + ab — ab — b^{2}\). Поскольку \(ab\) и \(-ab\) взаимно уничтожаются, остаётся только \(a^{2} — b^{2}\). Это и есть доказательство формулы.

Таким образом, эта формула показывает, что произведение суммы и разности двух выражений можно упростить до разности их квадратов, что часто используется для упрощения и разложения многочленов.

2. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Это обратное утверждение к первому, записываемое как \(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\). Здесь мы видим, что если у нас есть разность квадратов, то её можно разложить на произведение двух выражений — разности и суммы исходных выражений.

Это удобно использовать для факторизации многочленов, когда нужно упростить выражение или найти его корни. Например, если нам дано \(x^{2} — 9\), мы можем представить это как \((x — 3)(x + 3)\), что значительно проще для дальнейших вычислений.

Такое разложение основано на том, что при раскрытии скобок произведения \((a — b)(a + b)\) мы возвращаемся к исходной разности квадратов, что подтверждает равенство.

3. Формула суммы кубов записывается так: \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\). Это выражение показывает, что сумма кубов двух выражений может быть разложена на произведение суммы этих выражений и специального квадратного многочлена.

Доказательство этой формулы происходит путём раскрытия скобок произведения \((a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\). Умножая, получаем: \(a \cdot a^{2} = a^{3}\), \(a \cdot (-ab) = -a^{2}b\), \(a \cdot b^{2} = ab^{2}\), \(b \cdot a^{2} = a^{2}b\), \(b \cdot (-ab) = -ab^{2}\), \(b \cdot b^{2} = b^{3}\). При сложении все промежуточные члены \( -a^{2}b + a^{2}b \) и \( ab^{2} — ab^{2} \) сокращаются, остаётся \(a^{3} + b^{3}\).

Эта формула полезна для разложения суммы кубов, что часто встречается в алгебраических задачах и упрощении выражений.

4. Формула разности кубов выглядит так: \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\). Она показывает, что разность кубов можно представить в виде произведения разности двух выражений и специального квадратного многочлена.

Для доказательства раскрываем скобки произведения \((a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\). Умножая, получаем: \(a \cdot a^{2} = a^{3}\), \(a \cdot ab = a^{2}b\), \(a \cdot b^{2} = ab^{2}\), \(-b \cdot a^{2} = -a^{2}b\), \(-b \cdot ab = -ab^{2}\), \(-b \cdot b^{2} = -b^{3}\). При сложении сокращаются \(a^{2}b\) и \(-a^{2}b\), \(ab^{2}\) и \(-ab^{2}\), остаётся \(a^{3} — b^{3}\).

Эта формула часто используется для факторизации выражений с разностью кубов, что облегчает решение уравнений и упрощение выражений.

5. Многочлен \(16t^{2} — 1\) можно разложить с помощью формулы разности квадратов. Здесь \(16t^{2}\) — это квадрат выражения \(4t\), а \(1\) — квадрат числа \(1\). Значит, применяем формулу \(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\), где \(a = 4t\), \(b = 1\). Получаем разложение: \((4t — 1)(4t + 1)\). Это позволяет упростить выражение и найти его корни.

Для многочлена \(p^{3} + 8\) используем формулу суммы кубов. Здесь \(p^{3}\) — куб \(p\), а \(8 = 2^{3}\) — куб числа 2. По формуле суммы кубов \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\), подставляем \(a = p\), \(b = 2\). Получаем: \((p + 2)(p^{2} — 2p + 4)\). Это разложение помогает упростить выражение и решить уравнения.

Многочлен \(m^{3} — 27\) — это разность кубов, где \(m^{3}\) — куб \(m\), а \(27 = 3^{3}\) — куб числа 3. Применяем формулу разности кубов \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\), где \(a = m\), \(b = 3\). Разложение будет: \((m — 3)(m^{2} + 3m + 9)\). Это позволяет упростить выражение и эффективно работать с ним при решении задач.