ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 13 Макарычев — Подробные Ответы

1. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.
2. Какие действия надо выполнить и в каком порядке, чтобы представить целое выражение \(4x(2 — x)^2 + (x^2 — 4)(x + 4)\) в виде многочлена?
3. Какие способы разложения многочленов на множители вам известны?

1. Пример целого выражения:
\(2x^2 + x + 18\)
Пример выражения, не являющегося целым:
\(\frac{15x^2 + 8}{x — 1}\)

2. Действия для представления выражения \(4x(3 — x)^2 + (x^2 — 4)(x + 4)\) в виде многочлена:
1) Раскрыть скобки в \((3 — x)^2 = 9 — 6x + x^2\)
2) Умножить \(4x\) на каждый член в скобках: \(4x \cdot (9 — 6x + x^2) = 36x — 24x^2 + 4x^3\)
3) Раскрыть скобки в \((x^2 — 4)(x + 4) = x^3 + 4x^2 — 4x — 16\)
4) Сложить полученные многочлены:
\(36x — 24x^2 + 4x^3 + x^3 + 4x^2 — 4x — 16 = 5x^3 — 20x^2 + 32x — 16\)

3. Способы разложения многочленов на множители:
1) Вынесение общего множителя за скобки — выделение общего множителя из всех членов многочлена.
2) Группировка членов многочлена — разбиение многочлена на группы с последующим вынесением общего множителя из каждой группы.
3) Применение формул сокращённого умножения — использование известных формул, например:
— \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
— \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
— \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\)

1. Целые выражения — это такие алгебраические выражения, которые содержат только операции сложения, вычитания, умножения и возведения переменных в натуральные степени, при этом не содержат деления на выражения с переменными. Например, выражение \(2x^2 + x + 18\) является целым, так как здесь только сумма нескольких членом с переменными в степенях 2 и 1, а также константа 18. Аналогично, выражение \(5x^5 y — 3x^2 y + 2x — 10\) тоже целое, хотя и более сложное: оно содержит произведения переменных с разными степенями, но не содержит деления.

В отличие от целых выражений, существуют выражения, которые не являются целыми, так как они содержат деление на выражение с переменной. Например, выражение \(\frac{15x^2 + 8}{x — 1}\) не является целым, потому что здесь происходит деление на \(x — 1\), которое зависит от переменной \(x\). Такое выражение нельзя представить в виде многочлена. Еще пример — выражение \(100 — \frac{6}{x} + 7 \cdot (x — 3)\), где есть дробь с переменной в знаменателе \(\frac{6}{x}\), что также исключает его из класса целых выражений.

Таким образом, основное отличие целых выражений от нецелых заключается в отсутствии деления на переменную или выражение с переменной. Целые выражения — это многочлены, которые удобно использовать для различных алгебраических операций, таких как упрощение, разложение на множители и вычисление значений при подстановке переменной. Выражения с делением на переменную требуют иных методов и не относятся к многочленам.

2. Рассмотрим равенство \(4x \cdot (3 — x)^2 + (x^2 — 4)(x + 4) = 5x^3 — 20x^2 + 32x — 16\). Чтобы понять, почему это равенство верно, разложим левую часть по шагам и упростим.

Сначала раскроем квадрат: \((3 — x)^2 = 9 — 6x + x^2\). Это стандартное применение формулы квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Здесь \(a=3\), \(b=x\), поэтому получаем \(9 — 6x + x^2\).

Далее умножим \(4x\) на полученный многочлен: \(4x \cdot (9 — 6x + x^2) = 36x — 24x^2 + 4x^3\). Это простое распределительное умножение, где каждый член внутри скобок умножается на \(4x\).

Теперь разложим произведение \((x^2 — 4)(x + 4)\). Заметим, что \(x^2 — 4\) — это разность квадратов, которую можно представить как \((x — 2)(x + 2)\), но здесь удобнее раскрыть напрямую: \(x^2 \cdot x + x^2 \cdot 4 — 4 \cdot x — 4 \cdot 4 = x^3 + 4x^2 — 4x — 16\).

Сложим все полученные выражения: \(36x — 24x^2 + 4x^3 + x^3 + 4x^2 — 4x — 16\). Приведём подобные члены: \(4x^3 + x^3 = 5x^3\), \(-24x^2 + 4x^2 = -20x^2\), \(36x — 4x = 32x\), и остаётся \(-16\). Итого получаем \(5x^3 — 20x^2 + 32x — 16\), что совпадает с правой частью исходного равенства.

Таким образом, разложение и упрощение многочленов показали, что исходное равенство верно, и мы подробно разобрали каждый шаг преобразования.

3. Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители, которые позволяют упростить выражения и найти корни уравнений.

Первый способ — вынесение общего множителя за скобки. Это означает, что если все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменную или их произведение), то его можно вынести за скобки, оставив внутри многочлен с меньшими степенями. Например, в выражении \(6x^3 + 9x^2\) общий множитель \(3x^2\), и тогда можно записать как \(3x^2(2x + 3)\). Это упрощает дальнейшую работу с выражением.

Второй способ — группировка членов многочлена. Если многочлен состоит из нескольких членов, можно разбить их на группы, в каждой из которых вынести общий множитель, а затем выделить общий множитель между группами. Например, в выражении \(ax + ay + bx + by\) можно сгруппировать как \((ax + ay) + (bx + by)\), вынести \(a\) из первой группы и \(b\) из второй, получив \(a(x + y) + b(x + y)\), а затем выделить общий множитель \(x + y\), получив \((a + b)(x + y)\).

Третий способ — применение формул сокращённого умножения. Это специальные формулы для быстрого разложения выражений, таких как квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы и разности и другие. Например, формула разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) позволяет быстро разложить выражение. Аналогично, формула квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) помогает в обратном направлении, а её использование в разложении часто требует распознавания подобных выражений.

Эти три метода — базовые и часто используемые при работе с многочленами, позволяющие упростить выражения и решать уравнения более эффективно. Их комбинирование даёт мощный инструмент для алгебраических преобразований.