ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 14 Макарычев — Подробные Ответы

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными? Является ли пара значений переменных \(x = 7\), \(y = 3\) решением уравнения \(2x + y = 17\)?
3. Что является графиком уравнения \(ax + by = c\) с переменными \(x\) и \(y\), где \(a \neq 0\) или \(b \neq 0\)?
4. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений?
5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

1. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида \(ax + by = c\), где \(x\) и \(y\) — переменные, а \(a, b, c\) — некоторые числа. Пример:
\(16x + 10y = 36\),
\(8x + 5y = 18\),
\(3x — 2y = 7\).

2. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Пусть исходное уравнение: \(2x + y = 17\). Предполагаемое решение: \(x = 7\), \(y = 3\).
Подставим: \(2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17\) — верно.
Значит, пара \((7; 3)\) является решением уравнения.

3. Графиком уравнения \(ax + by = c\) с переменными \(x\) и \(y\), где \(a \neq 0\) или \(b \neq 0\), является прямая.

4. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

5. Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

1. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида \(ax + by = c\), где \(x\) и \(y\) — переменные, а \(a\), \(b\), \(c\) — некоторые числа. Это уравнение называется линейным, потому что степени переменных равны 1, то есть они не возводятся в квадрат или другую степень, и не перемножаются между собой. Коэффициенты \(a\) и \(b\) определяют наклон и направление линии, а число \(c\) задаёт положение линии относительно осей координат. Такое уравнение описывает множество точек на плоскости, которые удовлетворяют этому равенству.

Примером линейного уравнения с двумя переменными могут служить уравнения \(16x + 10y = 36\), \(8x + 5y = 18\) и \(3x — 2y = 7\). Каждое из них задаёт свою прямую на координатной плоскости. В этих уравнениях \(x\) и \(y\) — переменные, а числа перед ними — коэффициенты, которые могут быть положительными или отрицательными. Знание этих коэффициентов позволяет определить, как будет выглядеть график уравнения.

2. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений \((x; y)\), которая при подстановке в уравнение превращает его в истинное равенство. То есть, если подставить эти значения в уравнение, левая часть станет равна правой. Это важное понятие, так как именно такие пары значений показывают, какие точки лежат на графике уравнения. Если пара не удовлетворяет уравнению, она не является решением.

Рассмотрим уравнение \(2x + y = 17\). Предположим, что \(x = 7\) и \(y = 3\). Подставим эти значения в уравнение: \(2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17\). Получили равенство, которое верно, значит, пара \((7; 3)\) является решением уравнения. Это показывает, что точка с координатами \(x = 7\), \(y = 3\) лежит на графике линии, заданной этим уравнением.

3. Графиком уравнения \(ax + by = c\) с переменными \(x\) и \(y\), где \(a \neq 0\) или \(b \neq 0\), является прямая линия. Это связано с тем, что уравнение описывает все точки на плоскости, координаты которых удовлетворяют этому линейному равенству. Если оба коэффициента \(a\) и \(b\) равны нулю, уравнение перестаёт иметь смысл как линейное уравнение с двумя переменными.

Прямая определяется наклоном и положением, которые зависят от коэффициентов \(a\), \(b\) и свободного члена \(c\). Например, если \(b \neq 0\), уравнение можно переписать в виде \(y = \frac{c — ax}{b}\), что явно показывает зависимость \(y\) от \(x\) и задаёт линейную функцию. Таким образом, график будет линией, проходящей через множество точек, удовлетворяющих этому уравнению.

4. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, которая одновременно обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Это значит, что такая пара удовлетворяет всем уравнениям системы одновременно. Найти решение системы — значит определить все такие пары, либо доказать, что их нет. Система может содержать два и более уравнений с одними и теми же переменными.

Решить систему уравнений — значит найти все пары \((x; y)\), которые подходят под каждое уравнение системы. Это важно, так как система описывает одновременно несколько условий, и решение показывает, при каких значениях переменных все эти условия выполняются одновременно. Если таких значений нет, говорят, что система не имеет решений.

5. Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь три варианта количества решений. Первый вариант — одно единственное решение, когда графики уравнений пересекаются в одной точке. Второй — отсутствие решений, когда графики параллельны и не пересекаются. Третий — бесконечно много решений, когда графики совпадают, то есть уравнения задают одну и ту же прямую.

Каждый из этих случаев зависит от соотношения коэффициентов уравнений. Если коэффициенты при \(x\) и \(y\) пропорциональны, но свободные члены — нет, система не имеет решений. Если все коэффициенты пропорциональны, включая свободные члены, система имеет бесконечно много решений. Если коэффициенты не пропорциональны, система имеет единственное решение.