ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 15 Макарычев — Подробные Ответы

1. Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

2. Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

1. Выразим из первого уравнения \( x \) через \( y \):
\( x — 2y = 3 \)
\( x = 2y + 3 \).

Подставим в второе уравнение:
\( 5x + y = 4 \)
\( 5(2y + 3) + y = 4 \)
\( 10y + 15 + y = 4 \)
\( 11y = 4 — 15 \)
\( 11y = -11 \)
\( y = \frac{-11}{11} = -1 \).

Подставим \( y = -1 \) в выражение для \( x \):
\( x = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \).

Ответ: \( (1; -1) \).

2. Сложим уравнения системы почленно:
\( 5x — 4y = 22 \)
\( 7x + 4y = 2 \)
Складываем:
\( 5x + 7x — 4y + 4y = 22 + 2 \)
\( 12x = 24 \)
\( x = \frac{24}{12} = 2 \).

Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:
\( 5 \cdot 2 — 4y = 22 \)
\( 10 — 4y = 22 \)
\( -4y = 22 — 10 \)
\( -4y = 12 \)
\( y = \frac{12}{-4} = -3 \).

Ответ: \( (2; -3) \).

1. В первом уравнении системы \( x — 2y = 3 \) мы выражаем переменную \( x \) через \( y \). Для этого переносим член с \( y \) вправо, меняя знак, и получаем равенство \( x = 2y + 3 \). Это важно, так как теперь мы можем заменить \( x \) в другом уравнении, чтобы получить уравнение с одной переменной. Подстановка позволяет упростить систему и перейти к решению одного уравнения.

Далее подставляем найденное выражение \( x = 2y + 3 \) во второе уравнение \( 5x + y = 4 \), заменяя \( x \) на \( 2y + 3 \). Получается уравнение \( 5(2y + 3) + y = 4 \). Раскрываем скобки: \( 10y + 15 + y = 4 \), объединяем подобные члены: \( 11y + 15 = 4 \). Чтобы найти \( y \), переносим 15 вправо с обратным знаком: \( 11y = 4 — 15 \), что равно \( 11y = -11 \).

Теперь делим обе части уравнения на 11, чтобы изолировать \( y \): \( y = \frac{-11}{11} = -1 \). Таким образом, мы нашли значение \( y \). Следующий шаг — подставить это значение обратно в выражение для \( x \), чтобы найти \( x \). Подстановка \( y = -1 \) в \( x = 2y + 3 \) даёт \( x = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \). Ответом является пара \( (1; -1) \), которая удовлетворяет оба уравнения системы.

2. В данном способе решения системы уравнений мы используем метод сложения. Система: \( 5x — 4y = 22 \) и \( 7x + 4y = 2 \). Заметим, что при сложении левые части уравнений, члены с \( y \) сократятся, так как один из них \( -4y \), а другой \( +4y \). Это упрощает уравнение и позволяет найти \( x \) без лишних преобразований.

Складываем почленно обе части уравнений: \( 5x + 7x — 4y + 4y = 22 + 2 \). Слагаемые с \( y \) взаимно уничтожаются: \( -4y + 4y = 0 \), поэтому остаётся \( 12x = 24 \). Чтобы найти \( x \), делим обе части на 12: \( x = \frac{24}{12} = 2 \). Теперь, когда мы знаем \( x \), подставляем это значение в любое из исходных уравнений, например, в первое.

Подстановка \( x = 2 \) в уравнение \( 5x — 4y = 22 \) даёт: \( 5 \cdot 2 — 4y = 22 \), что равно \( 10 — 4y = 22 \). Переносим 10 вправо, меняя знак: \( -4y = 22 — 10 \), то есть \( -4y = 12 \). Делим обе части на \( -4 \), чтобы найти \( y \): \( y = \frac{12}{-4} = -3 \). Ответом является пара \( (2; -3) \), которая удовлетворяет исходной системе уравнений.