ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 2 Макарычев — Подробные Ответы

1 Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.

2 Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.

3 Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

4 Какие слагаемые называют подобными? Что означает выражение «привести подобные слагаемые»? Приведите подобные слагаемые в сумме \(-5x + 4y — y — 3x\).

1. Переместительное свойство сложения и умножения: для любых чисел \(a\) и \(b\) верны равенства
\(a + b = b + a\)
\(a \cdot b = b \cdot a\)

Сочетательное свойство сложения и умножения: для любых чисел \(a, b\) и \(c\) верны равенства
\((a + b) + c = a + (b + c)\)
\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

Распределительное свойство умножения относительно сложения: для любых чисел \(a, b\) и \(c\) верно равенство
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + b \cdot c\)

2. Тождественно равные выражения — это выражения, значения которых равны при любых значениях переменных.
Пример:
\(3a + 4b : 2 = 6a : 2 + 2b\)
\(a^2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5)\)

3. Равенство, верное при любых значениях переменных, называют тождеством.
Пример:
\(2 \cdot (a + b) = 2a + 2b\)
\((a + b)^2 + (a — b)^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\)

4. Подобными слагаемыми называют слагаемые алгебраической суммы, имеющие одинаковую буквенную часть.
Привести подобные слагаемые значит сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример:
\(-5x + 4y — y — 3x = (-5x — 3x) + (4y — y) = -8x + 3y\).

1. Переместительное свойство сложения и умножения говорит о том, что порядок слагаемых или множителей не влияет на результат операции. Это значит, что если мы меняем местами два числа при сложении, сумма останется той же: \(a + b = b + a\). Аналогично для умножения: произведение двух чисел не изменится при их перестановке, то есть \(a \cdot b = b \cdot a\). Это свойство позволяет нам свободно менять порядок чисел в выражениях, упрощая вычисления и преобразования.

Сочетательное свойство сложения и умножения связано с тем, как группируются числа при выполнении операций. Для сложения это означает, что если мы складываем три числа, то неважно, сначала мы сложим первые два, а потом прибавим третий, или сначала сложим второй и третий, а потом прибавим первый: \((a + b) + c = a + (b + c)\). Аналогично для умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). Это свойство важно для упрощения сложных выражений и позволяет перестраивать скобки без изменения результата.

Распределительное свойство умножения относительно сложения показывает, как умножение взаимодействует со сложением. Если число \(a\) умножить на сумму двух чисел \(b\) и \(c\), то это равно сумме произведений: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Это свойство часто используется для раскрытия скобок в алгебраических выражениях и помогает упростить вычисления, позволяя заменить одну операцию умножения на две.

2. Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые при любых значениях переменных дают одинаковый результат. Это означает, что независимо от того, какие числа подставить вместо переменных, значения этих выражений всегда будут равны. Например, выражение \(3a + 4b : 2\) и выражение \(6a : 2 + 2b\) тождественно равны, так как при любом \(a\) и \(b\) они дают одинаковое значение. Другой пример — разложение квадратного трёхчлена \(a^2 + 7a + 10\) на произведение двух двучленов \((a + 2)(a + 5)\), что также будет равно исходному выражению при любых \(a\).

Понимание тождественно равных выражений важно для упрощения и преобразования алгебраических выражений. С помощью таких равенств можно заменять сложные выражения на более простые, не меняя их смысл и значение. Это облегчает решение уравнений, вычисления и анализ функций, так как позволяет работать с более удобными формами.

Тождественная равенство — это фундаментальный инструмент в алгебре, который помогает выявлять скрытые связи между выражениями и упрощать их. Оно используется в доказательствах, преобразованиях и построении формул, обеспечивая точность и универсальность математических операций.

3. Равенство, которое верно при любых значениях переменных, называется тождеством. Это значит, что независимо от того, какие числа подставить вместо переменных, равенство всегда будет истинным. Например, выражение \(2 \cdot (a + b) = 2a + 2b\) является тождеством, так как левая и правая части равны для всех значений \(a\) и \(b\). Другой пример — формула \((a + b)^2 + (a — b)^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\), которая также сохраняет равенство при любых \(a\) и \(b\).

Тождества играют важную роль в математике, так как они служат основой для доказательств и упрощений. Знание тождеств позволяет заменять сложные выражения на эквивалентные, но более простые, облегчая вычисления и анализ. Это особенно полезно при решении уравнений и преобразовании алгебраических выражений.

Кроме того, тождества помогают выявлять закономерности и связи между различными выражениями, что расширяет понимание структуры алгебраических объектов и способствует развитию математического мышления.

4. Подобными слагаемыми называют слагаемые алгебраической суммы, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть одинаковые переменные с одинаковыми степенями. Например, слагаемые \(5x\) и \(-3x\) подобны, так как обе части содержат переменную \(x\) в первой степени. Слагаемые \(4y\) и \(-y\) также подобны, так как у них одинаковая переменная \(y\).

Привести подобные слагаемые означает сложить их числовые коэффициенты, оставив общую буквенную часть без изменений. Это позволяет упростить выражение, уменьшив количество слагаемых. Например, в выражении \(-5x + 4y — y — 3x\) нужно сгруппировать и сложить коэффициенты у подобных слагаемых: \(-5x\) и \(-3x\) объединяются в \(-8x\), а \(4y\) и \(-y\) — в \(3y\).

Таким образом, после приведения подобных слагаемых получаем более простое выражение \(-8x + 3y\), которое легче анализировать и использовать в дальнейших вычислениях. Этот процесс важен для упрощения алгебраических выражений и решения уравнений.