ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 3 Макарычев — Подробные Ответы

1. Сформулируйте определение корня уравнения. Является ли число 7 корнем уравнения: \(6x = 42\); \(0x = 11\); \((16 — 2 — 8)x = 0\)?

2. Что значит решить уравнение? Решите уравнение: \(6x = -12\); \(x — 2 \cdot 6 = 0\); \(5x — 4x = 6 + x\).

3. Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: \(5x — 1 = 3\); \(0,2x = 1,1\); \(3x — 4x + 6 = 0\).

4. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.

5. В каком случае уравнение \(ax = b\) имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

№ 1.
Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
\(6x = 42\)
Подставим \(x = 7\):
\(6 \cdot 7 = 42\)
\(42 = 42\) — верно, значит \(x = 7\) — корень уравнения.

Проверим \(x = 11\):
\(0 \cdot 7 = 11\)
\(0 \neq 11\) — не верно, значит \(x = 7\) — не корень уравнения.

Рассмотрим уравнение \((16 — 2 \cdot 8)x = 0\)
\((16 — 16)x = 0\)
\(0 \cdot 7 = 0\)
\(0 = 0\) — верно, значит \(x = 7\) — корень уравнения.

№ 2.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

\(6x = -12\)
\(x = \frac{-12}{6}\)
\(x = -2\)
Ответ: \(x = -2\).

\(x — 2x \cdot 6 = 0\)
\(x — 12x = 0\)
\(-11x = 0\)
\(x = \frac{0}{-11}\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).

\(5x — 4x = 6 + x\)
\(x = 6 + x\)
\(x — x = 6\)
\(0x = 6\) — корней нет.
Ответ: корней нет.

№ 3.
Уравнения, которые имеют одинаковые корни, называются равносильными. Это означает, что решение одного уравнения совпадает с решением другого. Свойства равносильных уравнений позволяют преобразовывать уравнения, не изменяя множество их решений.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное исходному. Например, из уравнения \(5x — 1 = 3\) можно получить \(5x = 4\), просто прибавив 1 к обеим частям. Такое преобразование не меняет корни уравнения, оно лишь упрощает его вид.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то также получится равносильное уравнение. Например, уравнение \(0{,}2x = 1{,}1\) можно умножить на 5, получив \(x = \frac{11}{2}\). Ещё один пример: уравнение \(3x — 4x + 6 = 0\) можно упростить до \(3x — 4x = -6\), что равносильно исходному уравнению.

№ 4.
Уравнение вида \(ax = b\), где \(x\) — переменная, а \(a\) и \(b\) — числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Это основной тип уравнений, с которым часто работают, поскольку они имеют простой вид и понятное решение.

Примеры линейных уравнений:
\(12a = 36\),
\(5{,}1b = 20{,}5\),
\(\frac{1}{3}x = 9\),
\(15x = 30\),
\(4x = 4\),
\(2x = 10\).

Все эти уравнения имеют вид \(ax = b\), где коэффициент перед переменной и свободный член — конкретные числа. Решение таких уравнений сводится к нахождению \(x\) путём деления обеих частей уравнения на \(a\), если \(a \neq 0\).

№ 5.
Линейное уравнение \(ax = b\) имеет несколько вариантов решения в зависимости от значений \(a\) и \(b\).

Если \(a \neq 0\), уравнение имеет единственный корень. Например, уравнение \(15x = 30\) решается как \(x = \frac{30}{15} = 2\). Аналогично уравнение \(11x — 4x = 14\) можно упростить до \(7x = 14\), откуда \(x = 2\).

Если \(a = 0\) и \(b = 0\), уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число \(x\) подходит. Например, уравнение \(0x = 0\) всегда верно для любого \(x\), а уравнение \(3y + (y — 2) = 2(2y — 1)\) также имеет бесконечно много решений.

Если \(a = 0\), но \(b \neq 0\), уравнение не имеет корней, так как выражение превращается в ложное равенство. Например, уравнение \(0x = 7\) невозможно выполнить ни при каком \(x\), и уравнение \(2y — (y + 5) = y\) также не имеет решений.

№ 1.
Корень уравнения — это такое значение переменной, при котором исходное уравнение становится истинным равенством. Рассмотрим уравнение \(6x = 42\). Чтобы проверить, является ли число \(x = 7\) корнем, подставим его в уравнение. Получим \(6 \cdot 7 = 42\), что равно \(42 = 42\). Поскольку левая и правая части равны, это подтверждает, что \(x = 7\) — корень уравнения. Таким образом, корень — это значение переменной, при котором уравнение выполняется.

Теперь проверим, является ли \(x = 11\) корнем другого уравнения \(0x = 11\). Подставим \(x = 7\) (по условию) и вычислим левую часть: \(0 \cdot 7 = 0\). Правая часть равна 11, то есть \(0 \neq 11\). Это значит, что при \(x = 7\) уравнение не выполняется, и \(x = 7\) не является корнем. Важно понимать, что для того, чтобы число было корнем, оно должно делать уравнение истинным равенством.

Рассмотрим уравнение \((16 — 2 \cdot 8)x = 0\). Сначала упростим выражение в скобках: \(16 — 16 = 0\), тогда уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\). Подставим \(x = 7\): \(0 \cdot 7 = 0\), что равно правой части уравнения. Значит, при любом значении \(x\), включая \(x = 7\), уравнение верно, и \(x = 7\) является корнем этого уравнения.

№ 2.
Решение уравнения — это процесс нахождения всех значений переменной, при которых уравнение становится верным, или доказательство отсутствия таких значений. Рассмотрим уравнение \(6x = -12\). Для нахождения \(x\) разделим обе части уравнения на 6: \(x = \frac{-12}{6}\). Вычислим дробь: \(x = -2\). Это означает, что при \(x = -2\) уравнение выполняется, и это единственный корень. Ответ: \(x = -2\).

Рассмотрим уравнение \(x — 2x \cdot 6 = 0\). Сначала упростим выражение: \(2x \cdot 6 = 12x\), тогда уравнение становится \(x — 12x = 0\). Объединим похожие члены: \(-11x = 0\). Чтобы найти \(x\), разделим обе части на \(-11\): \(x = \frac{0}{-11}\), что равно \(0\). Значит, корень уравнения — \(x = 0\).

Рассмотрим уравнение \(5x — 4x = 6 + x\). Слева упростим: \(5x — 4x = x\), тогда уравнение примет вид \(x = 6 + x\). Вычтем \(x\) из обеих частей: \(x — x = 6\), что даёт \(0 = 6\). Это неверное равенство, поэтому уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет, то есть множество решений пусто, \(x \in \emptyset\).

№ 3.
Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильными, потому что они описывают одно и то же множество решений. Это важное свойство позволяет преобразовывать уравнения так, чтобы упростить их решение, не меняя при этом ответа. Например, если мы переносим слагаемое из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный, мы не меняем множество решений, а лишь меняем форму уравнения. Это удобно для упрощения и решения уравнений.

Рассмотрим пример: уравнение \(5x — 1 = 3\). Если к обеим частям прибавить 1, то получим \(5x = 4\). При этом оба уравнения имеют одинаковые корни, так как мы просто изменили расположение слагаемых, не затронув условие равенства. Аналогично, если умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, то уравнение останется равносильным исходному. Это свойство позволяет упростить уравнение для удобства нахождения корня.

Например, уравнение \(0{,}2x = 1{,}1\) можно умножить на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей, и получить \(x = \frac{11}{2}\). Или уравнение \(3x — 4x + 6 = 0\) можно упростить, собрав подобные члены и перенесением слагаемых, что даст \(3x — 4x = -6\). Эти преобразования помогают быстрее и проще найти корни уравнений, сохраняя при этом их равносильность.

№ 4.
Уравнение вида \(ax = b\), где \(x\) — переменная, а \(a\) и \(b\) — числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Это один из самых простых видов уравнений, где переменная находится в первой степени и умножена на коэффициент. Решение таких уравнений сводится к нахождению значения \(x\), при котором равенство становится верным.

Примеры линейных уравнений включают \(12a = 36\), где переменная — \(a\), и коэффициент равен 12, а свободный член — 36. Другой пример — \(5{,}1b = 20{,}5\), где переменная \(b\) умножена на десятичный коэффициент. Также уравнение \(\frac{1}{3}x = 9\) показывает, что коэффициент может быть дробным числом. В каждом случае решение сводится к делению обеих частей уравнения на коэффициент перед переменной.

Другие примеры — \(15x = 30\), \(4x = 4\), \(2x = 10\) — показывают, что линейные уравнения могут иметь разные коэффициенты и свободные члены, но метод решения всегда одинаков: разделить обе части на коэффициент \(a\), если он не равен нулю. Это даёт единственное значение переменной, которое является решением уравнения.

№ 5.
Линейное уравнение \(ax = b\) может иметь разное количество решений в зависимости от значений \(a\) и \(b\). Если коэффициент \(a\) не равен нулю, то уравнение имеет единственный корень. Это происходит потому, что деление на ненулевой коэффициент даёт однозначное значение переменной. Например, уравнение \(15x = 30\) решается так: \(x = \frac{30}{15} = 2\). Аналогично уравнение \(11x — 4x = 14\) можно упростить до \(7x = 14\), откуда \(x = 2\).

Если же \(a = 0\) и \(b = 0\), уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\), что верно при любом значении \(x\). Это значит, что уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число удовлетворяет равенству. Примером служит уравнение \(0x = 0\) или \(3y + (y — 2) = 2(2y — 1)\), которые имеют множество решений.

Если \(a = 0\), но \(b \neq 0\), уравнение превращается в неверное равенство, например, \(0x = 7\). Такое уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда равна нулю, а правая — нет. Аналогично уравнение \(2y — (y + 5) = y\) не имеет корней. В этом случае множество решений пусто, и обозначается как \(x \in \emptyset\).