ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 4 Макарычев — Подробные Ответы

1. Перечислите виды числовых промежутков.
2. Как найти расстояние между двумя точками? Приведите примеры. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные, а также область определения функции.
3. Объясните на примере функции, заданной формулой \( y = 6x + 12 \): а) как по значению аргумента найти соответствующее значение функции; б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции.
4. Что называется графиком функции?
5. Покажите, как с помощью графика функции можно найти: а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента; б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Используйте для этого график функции, изображённый на рисунке 25 (см. с. 64).

1. Виды числовых промежутков: отрезок; интервал; полуинтервал; замкнутый луч; открытый луч.

2. Расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат.
Например: \( A = 7{,}5 \), \( B = 8{,}9 \).
\( AB = |7{,}5 — 8{,}9| = |-1{,}4| = 1{,}4 \).

3. Пример функциональной зависимости:
\( s = 50t \), где \( t \) — независимая переменная, а \( s \) — зависимая.
Область определения: \( t > 0 \).

4. \( y = 6x + 12 \).
а) Чтобы по значению аргумента найти соответствующее значение функции, надо вместо \( x \) подставить данное значение.
Например, \( x = 2 \):
\( y = 6 \cdot 2 + 12 = 12 + 12 = 24 \).
б) Чтобы найти значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции, надо вместо \( y \) подставить данное значение.
Например, \( y = 0 \):
\( 0 = 6x + 12 \)
\( 6x = -12 \)
\( x = -2 \).

5. Графиком функции называется множество точек координатной прямой, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

6. Рисунок 25.

а) Найдём значение функции при \( x = 5 \). От точки 5 на оси \( x \) проведём перпендикуляр к оси \( x \), затем от точки пересечения данного перпендикуляра с графиком функции проведём перпендикуляр к оси \( y \). Точка пересечения перпендикуляра с осью \( y \) и будет значением функции.
Таким образом, если \( x = 5 \), то \( y = 2 \).
б) Найдём значение аргумента при \( y = -1 \). От точки \(-1\) на оси \( y \) проведём перпендикуляр к оси \( y \), затем от точки пересечения данного перпендикуляра с графиком функции проведём перпендикуляр к оси \( x \). Точка пересечения перпендикуляра с осью \( x \) и будет значением аргумента.
Таким образом, \( y = -1 \) при \( x = 0 \).

1. Виды числовых промежутков включают несколько основных типов, которые различаются по способу включения или исключения крайних точек. Отрезок — это множество чисел между двумя заданными точками, включая сами эти точки. Интервал — это множество чисел между двумя точками, но без включения крайних точек. Полуинтервал — это промежуток, в котором одна из границ включена, а другая исключена. Замкнутый луч — это множество чисел, начинающееся с определённого числа и включающее его, и продолжающееся в одну сторону до бесконечности. Открытый луч — это аналогичный луч, но без включения начальной точки. Понимание этих видов важно для работы с функциями и их областями определения.

Каждый из этих промежутков можно записать с помощью неравенств и скобок. Например, отрезок от \(a\) до \(b\) записывается как \( [a; b] \), где квадратные скобки означают включение границ. Интервал \( (a; b) \) — с круглыми скобками, обозначающими исключение границ. Полуинтервалы записываются как \( [a; b) \) или \( (a; b] \), в зависимости от того, какая граница включена. Лучи записываются как \( [a; +\infty) \) или \( (a; +\infty) \) для лучей вправо, и \( (-\infty; b] \) или \( (-\infty; b) \) для лучей влево. Знание этих обозначений позволяет точно описывать области определения функций и решать задачи на промежутки.

2. Расстояние между двумя точками на координатной прямой определяется как абсолютное значение разности их координат. Это связано с тем, что расстояние — всегда неотрицательное число, и порядок точек не влияет на результат. Если заданы точки с координатами \( A \) и \( B \), то расстояние между ними вычисляется по формуле \( |A — B| \). Например, если \( A = 7{,}5 \) и \( B = 8{,}9 \), то разность координат равна \( 7{,}5 — 8{,}9 = -1{,}4 \), а модуль этой разности — \( |-1{,}4| = 1{,}4 \). Это и есть искомое расстояние.

Формула расстояния отражает геометрическую интерпретацию: на числовой оси расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего их. Эта длина не зависит от направления, поэтому берём абсолютное значение. Такой подход применяется не только на прямой, но и в более сложных системах координат, например, в декартовой плоскости и пространстве, где используются более сложные формулы, но принцип остаётся тем же — измеряется длина между точками.

3. Пример функциональной зависимости показывает связь между двумя переменными, где одна переменная зависит от другой. В данном случае функция задана формулой \( s = 50t \), где \( t \) — независимая переменная, то есть та, которую можно свободно изменять, а \( s \) — зависимая переменная, которая изменяется в зависимости от \( t \). Область определения функции — это все допустимые значения \( t \), при которых функция имеет смысл. Здесь это \( t > 0 \), то есть функция определена только для положительных значений \( t \). Это важно для правильного понимания и использования функции.

Функциональная зависимость позволяет предсказывать значение одной переменной, зная другую. Например, если \( t = 2 \), то \( s = 50 \cdot 2 = 100 \). В реальных задачах такие функции описывают различные процессы, например, движение, где \( t \) — время, а \( s \) — пройденное расстояние. Понимание, какая переменная независимая, а какая зависимая, помогает строить графики и анализировать поведение функции.

4. Рассмотрим функцию, заданную формулой \( y = 6x + 12 \). Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента \( x \), нужно подставить это значение в выражение вместо \( x \) и выполнить вычисления. Например, если \( x = 2 \), то \( y = 6 \cdot 2 + 12 = 12 + 12 = 24 \). Это показывает, что при увеличении \( x \) значение \( y \) изменяется линейно с коэффициентом 6 и смещением на 12.

Чтобы найти значение аргумента \( x \), которому соответствует заданное значение функции \( y \), нужно решить уравнение \( y = 6x + 12 \) относительно \( x \). Например, если \( y = 0 \), то \( 0 = 6x + 12 \), откуда \( 6x = -12 \), и \( x = -2 \). Это обратный процесс, позволяющий по известному значению функции определить, при каком значении аргумента оно достигается. Такой подход используется для решения уравнений и анализа зависимости.

5. График функции — это множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты \( (x; y) \), соответствующие значению аргумента и значению функции. Абсцисса точки — это значение аргумента \( x \), а ордината — значение функции \( y \). График наглядно показывает, как меняется функция при изменении аргумента, и позволяет визуально определить свойства функции, такие как возрастание, убывание, точки пересечения с осями.

График функции служит удобным инструментом для решения различных задач. По нему можно определить значение функции при заданном аргументе, просто найдя точку с нужной абсциссой и считав ординату. Аналогично, можно найти аргумент, соответствующий заданному значению функции, проведя перпендикуляр от ординаты к графику и затем к оси абсцисс. Это позволяет решать уравнения и исследовать функции без необходимости вычислений.

6. Рассмотрим на примере рисунка 25, как пользоваться графиком функции для нахождения значений. Чтобы найти значение функции при \( x = 5 \), нужно от точки 5 на оси \( x \) провести перпендикуляр к оси \( x \), затем от точки пересечения этого перпендикуляра с графиком провести перпендикуляр к оси \( y \). Точка пересечения с осью \( y \) даст значение функции. В данном случае это \( y = 2 \), что значит при \( x = 5 \) функция принимает значение 2.

Для нахождения значения аргумента при заданном значении функции, например \( y = -1 \), поступаем наоборот. От точки \(-1\) на оси \( y \) проводим перпендикуляр к оси \( y \), затем от точки пересечения с графиком функции — перпендикуляр к оси \( x \). Точка пересечения с осью \( x \) показывает, при каком значении аргумента функция равна \(-1\). Здесь это \( x = 0 \). Такой метод позволяет визуально решать уравнения и понимать взаимосвязь переменных.