ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 5 Макарычев — Подробные Ответы

1. Сформулируйте определение прямой пропорциональности.
2. Что является графиком прямой пропорциональности? Как построить график прямой пропорциональности?
3. Как расположен на координатной плоскости график функции \( y = kx \) при \( k > 0 \) и при \( k < 0 \)?
4. Дайте определение линейной функции.
5. Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?
6. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются и в каком случае они являются параллельными прямыми?
7. В какой точке график функции \( y = kx + b \) пересекает ось ординат?
8. В каких координатных четвертях расположен график функции: \( y = 6x; y = 0,5x + 4; y = 3x — 1; y = -3 \)?

№ 1.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида \( y = kx \), где \( x \) — независимая переменная, \( k \) — не равное нулю число.

№ 2.
График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для построения графика функции \( y = kx \) достаточно найти координаты какой-либо точки графика, отличной от начала координат, отметить её на координатной плоскости и провести прямую через неё и начало координат.

№ 3.
При \( k > 0 \) график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях.
При \( k < 0 \) график прямой пропорциональности расположен во второй и четвёртой координатных четвертях.

№ 4.
Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида \( y = kx + b \), где \( x \) — независимая переменная, \( k \) и \( b \) — некоторые числа.

№ 5.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую.

№ 6.
Графики двух линейных функций пересекаются, если угловые коэффициенты прямых различны.
Графики двух линейных функций являются параллельными прямыми, если их угловые коэффициенты одинаковые.

№ 7.
График функции пересекает ось ординат при \( x = 0 \) и \( y = kx + b \)  то \( y = b \).
То есть в точке \( (0; b) \).

№ 8.
\( y = 6x \), \( k = 6 > 0 \), график расположен в I и III четвертях.
\( y = 0,5x + 4 \), \( k = 0,5 > 0 \), график расположен в I и III четвертях.
\( y = 3x — 1 \), \( k = 3 > 0 \), график расположен в I и III четвертях.
\( y = -3 \), \( k = 0 \), график параллелен оси \( x \) и расположен в III и IV четвертях.

№ 1.
Прямая пропорциональность — это особый вид зависимости между двумя переменными, где одна переменная изменяется прямо пропорционально другой. Формула \( y = kx \) описывает такую зависимость, где \( y \) — значение функции, \( x \) — независимая переменная, а \( k \) — коэффициент пропорциональности. Важно, что \( k \) не равен нулю, потому что при \( k = 0 \) функция перестает быть пропорциональной и становится постоянной. Значение \( k \) определяет, насколько быстро изменяется \( y \) при изменении \( x \).

Функция с такой формулой всегда проходит через начало координат, так как при \( x = 0 \) значение \( y \) равно нулю. Это связано с тем, что нет свободного члена в формуле, который мог бы сместить график вверх или вниз. Таким образом, прямая пропорциональность — это функция, где изменение одной величины вызывает линейное изменение другой, без смещения.

Коэффициент \( k \) может быть положительным или отрицательным, что влияет на направление наклона графика. Если \( k > 0 \), график поднимается слева направо, а если \( k < 0 \), то график убывает. Это важное свойство помогает понять поведение функции на координатной плоскости.

№ 2.
График функции прямой пропорциональности — это прямая линия, которая обязательно проходит через начало координат, то есть точку с координатами \( (0; 0) \). Это связано с тем, что при \( x = 0 \) значение \( y \) также равно нулю, что отражается на расположении графика. Для построения графика достаточно найти координаты одной точки, отличной от начала координат, так как прямая определяется двумя точками.

Чтобы построить график функции \( y = kx \), нужно выбрать любое значение \( x \), подставить его в формулу и вычислить \( y \). Полученную точку отметить на координатной плоскости, а затем соединить её с началом координат прямой линией. Этот метод прост и эффективен, так как позволяет быстро получить точное изображение графика.

Таким образом, график строится на основе двух ключевых точек: начала координат и выбранной точки функции. Это объясняет, почему для прямой пропорциональности не требуется искать множество точек — достаточно одной, чтобы определить весь график.

№ 3.
Расположение графика функции \( y = kx \) на координатной плоскости зависит от знака коэффициента \( k \). Если \( k > 0 \), то график проходит через первую и третью координатные четверти. Это значит, что при положительных значениях \( x \), \( y \) тоже положительно, а при отрицательных \( x \), \( y \) также отрицательно. График в этом случае направлен из нижнего левого угла в верхний правый.

Если же \( k < 0 \), то график расположен во второй и четвёртой четвертях. В этом случае при положительных \( x \), значение \( y \) отрицательно, а при отрицательных \( x \), \( y \) положительно. График направлен из верхнего левого угла в нижний правый. Это отражает обратную зависимость между переменными.

Такое расположение графика помогает понять направление изменения функции и её поведение в разных частях координатной плоскости, что важно для анализа и решения задач, связанных с функциями.

№ 4.
Линейная функция — это более общий случай, чем прямая пропорциональность. Она задаётся формулой \( y = kx + b \), где \( x \) — независимая переменная, а \( k \) и \( b \) — некоторые числа. Здесь \( k \) — угловой коэффициент, который определяет наклон прямой, а \( b \) — свободный член, отвечающий за смещение графика по вертикали.

В отличие от функции прямой пропорциональности, график линейной функции может не проходить через начало координат, так как \( b \) может быть отличным от нуля. Это означает, что при \( x = 0 \) значение \( y \) равно \( b \), что смещает график вверх или вниз. Это добавляет гибкости в описание зависимости между переменными.

Линейная функция описывает широкий класс зависимостей, где изменение \( y \) связано с изменением \( x \) не только пропорционально, но и с учётом постоянного сдвига. Это делает её важным инструментом для моделирования реальных процессов.

№ 5.
Графиком линейной функции является прямая линия. Для её построения достаточно определить две точки, через которые она проходит, поскольку прямая однозначно определяется двумя точками. Для этого нужно выбрать два значения \( x \), вычислить соответствующие значения \( y \) по формуле \( y = kx + b \), и отметить эти точки на координатной плоскости.

После нахождения двух точек их соединяют прямой линией, которая и будет графиком функции. Этот способ прост и универсален, его можно применять к любой линейной функции. При этом важно точно вычислить координаты точек, чтобы график был корректным.

Такой метод построения позволяет наглядно увидеть поведение функции, её наклон и пересечение с осями координат, что помогает в анализе и решении различных задач.

№ 6.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны. Угловой коэффициент \( k \) определяет наклон прямой, и если эти наклоны отличаются, то прямые не параллельны и обязательно пересекаются в одной точке. Это означает, что существует единственное решение системы из двух линейных уравнений.

Если же угловые коэффициенты равны, то графики двух функций являются параллельными прямыми. В этом случае линии не пересекаются, так как они имеют одинаковый наклон и отличаются только смещением \( b \). Если при этом свободные члены тоже равны, то графики совпадают, но если нет — параллельны и не имеют общих точек.

Понимание этих свойств важно для анализа систем уравнений и определения количества решений, а также для изучения геометрических свойств функций.

№ 7.
График функции \( y = kx + b \) пересекает ось ординат в точке, где \( x = 0 \). Подставляя \( x = 0 \) в формулу, получаем \( y = b \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \( (0; b) \).

Эта точка показывает, где график функции «пересекает» вертикальную ось, и её значение зависит только от свободного члена \( b \). Если \( b = 0 \), график проходит через начало координат, как в случае прямой пропорциональности.

Знание точки пересечения с осью ординат помогает быстро строить график функции и понимать, как она смещена относительно начала координат.

№ 8.
Рассмотрим функции по отдельности:
\( y = 6x \). Здесь \( k = 6 > 0 \), значит график расположен в первой и третьей координатных четвертях. Это связано с тем, что при положительных \( x \), \( y \) также положительно, а при отрицательных \( x \), \( y \) отрицательно.

\( y = 0,5x + 4 \). Коэффициент \( k = 0,5 > 0 \), следовательно, график также расположен в первой и третьей четвертях. Свободный член \( b = 4 \) смещает график вверх, но наклон остаётся положительным.

\( y = 3x — 1 \). Здесь \( k = 3 > 0 \), график расположен в первой и третьей четвертях. Свободный член \( b = -1 \) смещает график вниз, однако наклон положительный, поэтому расположение сохраняется.

\( y = -3 \). Коэффициент \( k = 0 \), значит график — горизонтальная прямая, параллельная оси \( x \). Эта прямая расположена в третьей и четвёртой четвертях, так как \( y \) постоянно равно \(-3\), независимо от \( x \).

Такой анализ позволяет понять, как коэффициенты \( k \) и \( b \) влияют на расположение графиков функций в разных частях координатной плоскости.