ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 6 Макарычев — Подробные Ответы

1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.
2. Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
3. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение \(12 \cdot 12^3 \cdot 12^6\).
4. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное \(5,7^6 : 5,7^3\).
5. Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
6. Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: \((5ab)^4; (a^3)^6; y^4 \cdot (y^2)^6\).

1. Степень числа \(a\) с натуральным показателем \(n\) определяется как \(a^n = a \cdot a \cdots a\) (всего \(n\) множителей). Примеры: \(5^{15}\), \(3^1\), \(2^3\), \(8^2\).

2. Основное свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Доказательство: \(a^m \cdot a^n = (a \cdots a)_{m \text{ раз}} \cdot (a \cdots a)_{n \text{ раз}} = a^{m+n}\).

3. При умножении степеней: \(12 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^{1+3+6} = 12^{10}\).

4. При делении степеней: \(5,7^6 : 5,7^3 = 5,7^{6-3} = 5,7^3\).

5. Степень с нулевым показателем: \(a^0 = 1\).

6. Для произведения: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\). При возведении в степень: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Примеры: \((5ab)^4 = 625 a^4 b^4\), \((a^3)^6 = a^{18}\), \(y^4 \cdot (y^2)^6 = y^{16}\).

1. Степень числа \(a\) с натуральным показателем \(n\), большим 1, представляет собой выражение \(a^n\), которое определяется как произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\). Например, если мы возьмем число 5 и возведем его в степень 15, то это будет означать, что мы умножаем 5 на себя 15 раз: \(5^{15} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdots 5\) (всего 15 множителей). В этом случае основание степени — это 5, а показатель степени — 15. Аналогично, если мы рассматриваем число 3, возведенное в степень 1, то это просто само число 3, так как \(3^1 = 3\). Важно понимать, что степень с показателем 1 не изменяет значение числа.

Степени чисел также могут быть выражены в других формах. Например, \(2^3\) читается как «2 в кубе» и равняется \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Здесь основание — 2, а показатель степени — 3. Упрощение степени позволяет нам быстро вычислять большие произведения, не записывая каждое умножение. Также, когда мы говорим о \(8^2\), это означает, что мы умножаем 8 на себя дважды: \(8^2 = 8 \cdot 8 = 64\).

Таким образом, понимание степеней чисел — это основа для работы с более сложными математическими концепциями. Степени позволяют нам компактно записывать большие числа и легко манипулировать ими в вычислениях. Это особенно полезно в алгебре и математическом анализе, где часто требуется работать с большими величинами.

2. Основное свойство степени утверждает, что для любого числа \(a\) и натуральных чисел \(m\) и \(n\) выполняется равенство \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Это свойство является одним из ключевых в арифметике степеней, так как оно позволяет упрощать выражения, содержащие степени с одинаковыми основаниями. Например, если у нас есть \(a^3 \cdot a^5\), мы можем использовать это свойство, чтобы объединить степени: \(a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8\). Это значительно упрощает вычисления, особенно когда показатели степени велики.

Доказательство данного свойства основывается на определении степени. Мы можем представить \(a^m\) как произведение \(a\) самого себя \(m\) раз, а \(a^n\) — как произведение \(a\) \(n\) раз. Таким образом, при умножении \(a^m\) и \(a^n\) мы получаем: \(a^m \cdot a^n = (a \cdot a \cdots a)_{m \text{ раз}} \cdot (a \cdot a \cdots a)_{n \text{ раз}} = a^{m+n}\). Это свойство позволяет нам легко комбинировать степени и является основой для более сложных операций с ними.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Например, если у нас есть выражение \(12 \cdot 12^3 \cdot 12^6\), мы можем применить основное свойство степеней: \(12^{1+3+6} = 12^{10}\). Это свойство позволяет нам быстро вычислять произведения, избегая необходимости перемножать каждое число по отдельности. В данном случае, мы добавляем показатели \(1\), \(3\) и \(6\), чтобы получить \(10\).

Такой подход к работе со степенями значительно упрощает вычисления и позволяет избежать ошибок, связанных с ручным умножением. Это особенно полезно в задачах, где необходимо быстро находить значения больших чисел. Например, если нам нужно вычислить \(12^{10}\), мы можем использовать это свойство, чтобы избежать множества операций умножения. Вместо этого мы можем просто сосредоточиться на сложении показателей, что делает процесс более эффективным.

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Например, если у нас есть выражение \(5,7^6 : 5,7^3\), мы можем воспользоваться данным свойством, чтобы упростить вычисление: \(5,7^{6-3} = 5,7^3\). Это свойство позволяет нам легко находить частные степеней и делает процесс деления более понятным.

Доказательство этого свойства также основывается на определении степени. Мы можем представить \(5,7^6\) как произведение \(5,7\) самого себя 6 раз, а \(5,7^3\) — как произведение \(5,7\) 3 раза. При делении мы получаем: \(5,7^6 : 5,7^3 = \frac{(5,7 \cdot 5,7 \cdots 5,7)_{6 \text{ раз}}}{(5,7 \cdot 5,7 \cdots 5,7)_{3 \text{ раз}}}\). После сокращения множителей, оставшиеся \(5,7\) будут равны \(5,7^{6-3}\).

5. Степень числа \(a\), не равного нулю, с нулевым показателем равна единице: \(a^0 = 1\). Это свойство можно объяснить с помощью основного свойства степеней. Если мы возьмем \(a^n\) и разделим его на \(a^n\) (где \(n\) — любое натуральное число), мы получим \(a^n : a^n = a^{n-n} = a^0\). Поскольку любое число, отличное от нуля, деленное на само себя, равно единице, мы можем заключить, что \(a^0 = 1\).

Это свойство играет важную роль в алгебре и помогает упрощать выражения. Например, если мы видим выражение, содержащее степень с нулевым показателем, мы можем сразу заменить его на 1, что значительно упрощает вычисления. Это также помогает избежать путаницы, особенно в более сложных задачах, связанных с степенями и их свойствами.

6. Для возведения в степень произведения достаточно возвести в эту степень каждый множитель и перемножить результаты: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\). Это свойство позволяет нам легко работать с произведениями, когда мы хотим возвести их в степень. Например, если у нас есть выражение \((5ab)^4\), мы можем разложить его на множители: \((5ab)^4 = 5^4 \cdot a^4 \cdot b^4\). Это упрощает вычисление, так как мы можем сначала найти \(5^4 = 625\), а затем умножить на \(a^4\) и \(b^4\).

При возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степеней перемножаются: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Например, если мы возьмем \((a^3)^6\), мы можем использовать это свойство для упрощения: \((a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}\). Это делает работу со степенями более эффективной и позволяет легко находить значения для сложных выражений.