ГДЗ по Алгебре 7 Класс Контрольные вопросы и задания Параграф 9 Макарычев — Подробные Ответы

\(1.\) Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

\(2.\) Преобразуйте в многочлен произведение: \(ab\) и \(a + 4b\); \(xy\) и \(x^2 + xy + y^2\).

\(3.\) Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?

\(4.\) Объясните, как выполняется разложение многочлена \(2xy — 6x^2\) на множители вынесением общего множителя за скобки.

\(1.\) Для умножения одночлена на многочлен необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные результаты.

\(2.\) \(ab(a + 4b) = a^2b + 4ab^2\)
\(xy(x^2 + xy + y^2) = x^3y + x^2y^2 + xy^3\)

\(3.\) Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

\(4.\) \(2xy — 6x^2 = 2x \cdot y — 2x \cdot 3x = 2x \cdot (y — 3x)\)

\(1.\) Для умножения одночлена на многочлен необходимо выполнить следующие действия:

Пусть дан одночлен \(a\) и многочлен \(b_1 + b_2 + \dots + b_n\), где \(b_1, b_2, \dots, b_n\) — члены многочлена. Тогда для того, чтобы умножить одночлен \(a\) на многочлен \(b_1 + b_2 + \dots + b_n\), нужно умножить \(a\) на каждый член многочлена \(b_1, b_2, \dots, b_n\) и сложить полученные результаты. То есть, \(a \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_n) = a \cdot b_1 + a \cdot b_2 + \dots + a \cdot b_n\). Это позволяет представить произведение одночлена и многочлена в виде суммы произведений одночлена на каждый член многочлена.

Такой подход удобен, так как позволяет свести умножение одночлена на многочлен к серии простых умножений одночленов, которые легко выполнить. Кроме того, этот метод универсален и может быть применен к любым одночлену и многочлену, вне зависимости от их сложности.

\(2.\) Рассмотрим следующие примеры:

\(ab(a + 4b) = a^2b + 4ab^2\)
Здесь мы умножаем одночлен \(ab\) на многочлен \(a + 4b\). Применяя описанный выше метод, получаем:
\(ab(a + 4b) = ab \cdot a + ab \cdot 4b = a^2b + 4ab^2\)

\(xy(x^2 + xy + y^2) = x^3y + x^2y^2 + xy^3\)
Аналогично, умножаем одночлен \(xy\) на многочлен \(x^2 + xy + y^2\):
\(xy(x^2 + xy + y^2) = xy \cdot x^2 + xy \cdot xy + xy \cdot y^2 = x^3y + x^2y^2 + xy^3\)

\(3.\) Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения двух или более многочленов. Это важный прием, который позволяет упростить выражение, привести его к более удобному виду для дальнейших вычислений. Разложение на множители может быть выполнено различными способами в зависимости от вида многочлена.

\(4.\) Рассмотрим пример:
\(2xy — 6x^2 = 2x \cdot y — 2x \cdot 3x = 2x \cdot (y — 3x)\)
Здесь мы представили выражение \(2xy — 6x^2\) в виде произведения \(2x\) и \((y — 3x)\). Это позволяет упростить выражение и привести его к более компактному виду.