Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1000 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения:
а) \((n + 1)^2 — (n — 1)^2\) делится на 4;
б) \((2n + 3)^2 — (2n — 1)^2\) делится на 8;
в) \((3n + 1)^2 — (3n — 1)^2\) делится на 12;
г) \((5n + 1)^2 — (2n — 1)^2\) делится на 7.
а) \((n+1)^2 — (n-1)^2 = \frac{n^2 + 2n + 1 — n^2 + 2n — 1}{4} = \frac{4n}{4} = n\)
б) \(\frac{(2n+3)^2 — (2n-1)^2}{8} = \frac{4n^2 + 12n + 9 — 4n^2 + 4n — 1}{8} = \frac{16n + 8}{8} = \frac{8 \cdot (2n+1)}{8} = 2n + 1\)
в) \(\frac{(3n+1)^2 — (3n-1)^2}{12} = \frac{9n^2 + 6n + 1 — 9n^2 + 6n — 1}{12} = \frac{12n}{12} = n\)
г) \(\frac{(5n+1)^2 — (2n-1)^2}{7} = \frac{25n^2 + 10n + 1 — 4n^2 + 4n — 1}{7} = \frac{21n^2 + 14n}{7} =\) \(= \frac{7n \cdot (3n + 2)}{7} = n \cdot (3n + 2)\)
а) Рассмотрим выражение \((n+1)^2 — (n-1)^2\). Здесь мы видим разность квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)\). Подставляя \(a = n+1\) и \(b = n-1\), получаем \((n+1 — (n-1)) \cdot (n+1 + (n-1))\). Вычитаем внутри скобок: \(n+1 — n + 1 = 2\), а в другой скобке \(n+1 + n — 1 = 2n\). Значит, выражение равно \(2 \cdot 2n = 4n\). В исходном выражении это делится на 4, то есть \(\frac{4n}{4} = n\).
Другой способ — раскрыть скобки по формуле квадрата суммы и разности: \((n+1)^2 = n^2 + 2n + 1\), \((n-1)^2 = n^2 — 2n + 1\). Тогда разность будет равна \(n^2 + 2n + 1 — (n^2 — 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 — n^2 + 2n — 1 = 4n\). Делим на 4 — получаем \(n\).
б) В выражении \(\frac{(2n+3)^2 — (2n-1)^2}{8}\) также используется разность квадратов. Раскроем каждое слагаемое: \((2n+3)^2 = 4n^2 + 12n + 9\), \((2n-1)^2 = 4n^2 — 4n + 1\). Вычитаем: \(4n^2 + 12n + 9 — (4n^2 — 4n + 1) = 4n^2 + 12n + 9 — 4n^2 + 4n — 1 = 16n + 8\). Теперь делим на 8: \(\frac{16n + 8}{8} = 2n + 1\).
Другой способ — использовать формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b)\), где \(a = 2n+3\), \(b = 2n-1\). Тогда \(a-b = 4\), \(a+b = 4n+2\), произведение \(4 \cdot (4n+2) = 16n + 8\). Делим на 8 — получаем \(2n + 1\).
в) Рассмотрим \(\frac{(3n+1)^2 — (3n-1)^2}{12}\). Раскроем квадраты: \((3n+1)^2 = 9n^2 + 6n + 1\), \((3n-1)^2 = 9n^2 — 6n + 1\). Вычитаем: \(9n^2 + 6n + 1 — (9n^2 — 6n + 1) = 9n^2 + 6n + 1 — 9n^2 + 6n — 1 = 12n\). Делим на 12: \(\frac{12n}{12} = n\).
Аналогично можно применить формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b)\), где \(a = 3n+1\), \(b = 3n-1\). Тогда \(a-b = 2\), \(a+b = 6n\), произведение \(2 \cdot 6n = 12n\), делим на 12 — получаем \(n\).
г) В выражении \(\frac{(5n+1)^2 — (2n-1)^2}{7}\) раскроем квадраты: \((5n+1)^2 = 25n^2 + 10n + 1\), \((2n-1)^2 = 4n^2 — 4n + 1\). Вычитаем: \(25n^2 + 10n + 1 — (4n^2 — 4n + 1) = 25n^2 + 10n + 1 — 4n^2 + 4n — 1 =\) \(= 21n^2 + 14n\).
Делим на 7: \(\frac{21n^2 + 14n}{7} = 3n^2 + 2n\). Можно вынести общий множитель \(n\): \(n \cdot (3n + 2)\).
Также можно применить формулу разности квадратов: \(a = 5n+1\), \(b = 2n-1\), тогда \(a-b = 3n + 2\), \(a+b = 7n\), произведение \(7n \cdot (3n + 2)\), делённое на 7, даёт \(n \cdot (3n + 2)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!