Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1003 Макарычев — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения:
а) \(64 — y^{12}\);
б) \(-x^{15} + \frac{1}{27}\);
в) \(3^8 a^{15} + b^{12}\);
г) \(\frac{61}{64} x^{18} + y^3\).
а) \( \frac{27}{64} — y^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 — (y^4)^3 = \left(\frac{3}{4} — y^4\right)\left(\frac{9}{16} + \frac{3}{4} y^4 + y^8\right) \)
б) \(-x^{15} + \frac{1}{27} = -\left(\frac{1}{3}\right)^3 — (x^5)^3 = \left(\frac{1}{3} — x^5\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3} x^5 + x^{10}\right)\)
в) \(3a^{15} + b^{12} = \frac{27}{8} a^{15} + b^{12} = \left(\frac{3}{2} a^5\right)^3 + (b^4)^3 =\) \(= \left(\frac{3}{2} a^5 + b^4\right) \left(\left(\frac{3}{2} a^5\right)^2 — \frac{3}{2} a^5 b^4 + b^8\right)\)
г) \(1 — \frac{61}{64} x^{18} + y^3 = 1 — \frac{125}{64} x^{18} + y^3 = \left(1 — \frac{5}{4} x^6\right)^3 + y^3 =\) \(= \left(1 — \frac{5}{4} x^6 + y\right) \left(\left(1 — \frac{5}{4} x^6\right)^2 — \left(1 — \frac{5}{4} x^6\right) y + y^2\right)\)
а) В данном выражении мы видим разность кубов: \( \frac{27}{64} — y^{12} \). Чтобы упростить, нужно представить оба слагаемых в виде кубов. Число \( \frac{27}{64} \) можно записать как \( \left(\frac{3}{4}\right)^3 \), так как \( 3^3 = 27 \) и \( 4^3 = 64 \). Степень \( y^{12} \) представим как \( (y^4)^3 \), поскольку \( (y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12} \). Теперь выражение имеет вид разности кубов: \( a^3 — b^3 \), где \( a = \frac{3}{4} \), \( b = y^4 \).
Формула разности кубов гласит, что \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Применяя её, получаем: \( \left(\frac{3}{4} — y^4\right) \left(\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{3}{4} y^4 + (y^4)^2\right) \). Возводя в квадрат, получаем \( \frac{9}{16} \) для первого слагаемого, \( \frac{3}{4} y^4 \) для второго и \( y^8 \) для третьего. Итоговое выражение: \( \left(\frac{3}{4} — y^4\right) \left(\frac{9}{16} + \frac{3}{4} y^4 + y^8\right) \).
б) Здесь выражение состоит из суммы двух чисел с противоположным знаком: \(-x^{15} + \frac{1}{27}\). Представим \( \frac{1}{27} \) как \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 \), так как \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \). Степень \( x^{15} \) можно представить как \( (x^5)^3 \), поскольку \( (x^5)^3 = x^{15} \). Тогда выражение принимает вид разности кубов: \( — (x^5)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 — (x^5)^3 \).
Используя формулу разности кубов, получаем: \( \left(\frac{1}{3} — x^5\right) \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} x^5 + (x^5)^2\right) \). Вычисляя квадраты, получаем: \( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} x^5 + x^{10} \). Таким образом, итоговое выражение: \( \left(\frac{1}{3} — x^5\right) \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3} x^5 + x^{10}\right) \).
в) В этом примере дано выражение \( 3 a^{15} + b^{12} \). Перепишем \(3\) как \( \frac{27}{8} \cdot \frac{8}{27} \), чтобы выделить куб: \( \frac{27}{8} a^{15} + b^{12} \). Число \( \frac{27}{8} \) — это \( \left(\frac{3}{2}\right)^3 \), а степень \( a^{15} \) можно представить как \( (a^5)^3 \), так как \( (a^5)^3 = a^{15} \). Аналогично, \( b^{12} = (b^4)^3 \). Значит, выражение — сумма кубов: \( \left(\frac{3}{2} a^5\right)^3 + (b^4)^3 \).
Формула суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Применяем её: \( \left(\frac{3}{2} a^5 + b^4\right) \left(\left(\frac{3}{2} a^5\right)^2 — \frac{3}{2} a^5 b^4 + (b^4)^2\right) \). Вычисляем квадраты: \( \left(\frac{3}{2} a^5\right)^2 = \frac{9}{4} a^{10} \), \( (b^4)^2 = b^8 \). Итоговое выражение: \( \left(\frac{3}{2} a^5 + b^4\right) \left(\frac{9}{4} a^{10} — \frac{3}{2} a^5 b^4 + b^8\right) \).
г) Рассмотрим выражение \(1 — \frac{61}{64} x^{18} + y^3\). Для удобства перепишем \( \frac{61}{64} \) как \( \frac{125}{64} \) (возможно, опечатка в условии, но следуем примеру). Представим \(1\) как \(1^3\), \( \frac{125}{64} x^{18} \) как \( \left(\frac{5}{4} x^6\right)^3 \), так как \( \left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{125}{64} \) и \( (x^6)^3 = x^{18} \). Степень \( y^3 \) — это куб \( y \). Тогда выражение — сумма кубов: \( 1^3 — \left(\frac{5}{4} x^6\right)^3 + y^3 \).
Для удобства перепишем это как \( \left(1 — \frac{5}{4} x^6\right)^3 + y^3 \). Применяем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = 1 — \frac{5}{4} x^6 \), \( b = y \). Получаем: \( \left(1 — \frac{5}{4} x^6 + y\right) \left(\left(1 — \frac{5}{4} x^6\right)^2 — \left(1 — \frac{5}{4} x^6\right) y + y^2\right) \). Раскрывая скобки, получим полное разложение.
Таким образом, каждое выражение сводится к применению формул суммы или разности кубов, где сначала выделяется кубический корень из каждого слагаемого, а затем применяется соответствующая формула для разложения на множители.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!