ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1005 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \((x + 1)^3 + x^3\);
б) \((y — 2)^3 — 27\);
в) \((a — b)^3 + b^3\);
г) \(8x^3 + (x — y)^3\);
д) \(27a^3 — (a — b)^3\);
е) \(1000 + (b — 8)^3\).

а) \((x+1)^3 + x^3 = (x+1 + x)((x+1)^2 — (x+1)x + x^2) =\) \(= (2x+1)(x^2 + 2x + 1 — x^2 — x + x^2) = (2x+1)(x^2 + x + 1)\)

б) \((y-2)^3 — 27 = (y-2)^3 — 3^3 = (y-2-3)((y-2)^2 + 3(y-2) +\) \(+ 9) = (y-5)(y^2 — 4y + 4 + 3y — 6 + 9) = (y-5)(y^2 — y + 7)\)

в) \((a-b)^3 + b^3 = (a-b+b)((a-b)^2 — (a-b)b + b^2) =\) \(= a(a^2 — 2ab + b^2 — ab + b^2 + b^2) = a(a^2 — 3ab + 3b^2)\)

г) \(8x^3 + (x-y)^3 = (2x)^3 + (x-y)^3 = (2x + x — y)(4x^2 — 2x(x-y) +\) \(+ (x-y)^2) = (3x — y)(4x^2 — 2x^2 + 2xy + x^2 — 2xy + y^2) =\) \(= (3x — y)(3x^2 + y^2)\)

д) \(27a^3 — (a-b)^3 = (3a)^3 — (a-b)^3 = (3a — a + b)(9a^2 + 3a(a-b) +\) \(+ (a-b)^2) = (2a + b)(9a^2 + 3a^2 — 3ab + a^2 — 2ab + b^2) =\) \(= (2a + b)(13a^2 — 5ab + b^2)\)

е) \(1000 + (b-8)^3 = 10^3 + (b-8)^3 = (10 + b — 8)(100 — 10(b-8) +\) \(+ (b-8)^2) = (b + 2)(100 — 10b + 80 + b^2 — 16b + 64) =\) \(= (b + 2)(244 — 26b + b^2)\)

а) В данном выражении рассматривается сумма кубов двух выражений: \((x+1)^3\) и \(x^3\). Для упрощения применяем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2)\). Здесь \(a = x+1\), \(b = x\). Сначала складываем основания: \(x+1 + x = 2x + 1\). Затем вычисляем вторую скобку, которая представляет собой разность квадратов и произведений: \((x+1)^2 — (x+1)x + x^2\). Раскроем скобки: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\), \(-(x+1)x = -x^2 — x\), и \(+ x^2\) остаётся. Складываем: \(x^2 + 2x + 1 — x^2 — x + x^2 = x^2 + x + 1\). В итоге получаем произведение \((2x+1)(x^2 + x + 1)\).

б) Здесь дана разность кубов: \((y-2)^3 — 27\). Замечаем, что \(27 = 3^3\), значит применяем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = y-2\), \(b = 3\). Вычитаем основания: \(y-2 — 3 = y — 5\). Во второй скобке возводим в квадрат и умножаем: \((y-2)^2 = y^2 — 4y + 4\), \(ab = 3(y-2) = 3y — 6\), и \(b^2 = 9\). Складываем: \(y^2 — 4y + 4 + 3y — 6 + 9 = y^2 — y + 7\). Итог: \((y-5)(y^2 — y + 7)\).

в) Рассматриваем сумму кубов \((a-b)^3 + b^3\), что можно представить как сумму кубов \(A^3 + B^3\) с \(A = a-b\), \(B = b\). Формула суммы кубов: \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 — AB + B^2)\). Складываем основания: \((a-b) + b = a\). Далее раскрываем вторую скобку: \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), умножаем: \(-(a-b)b = -ab + b^2\), добавляем \(b^2\). Складываем: \(a^2 — 2ab + b^2 — ab + b^2 + b^2 = a^2 — 3ab + 3b^2\). В итоге имеем \(a (a^2 — 3ab + 3b^2)\).

г) В выражении \(8x^3 + (x-y)^3\) видим сумму кубов, где \(8x^3 = (2x)^3\), а второе слагаемое уже в кубе. Применяем формулу суммы кубов: \((2x)^3 + (x-y)^3 = (2x + x — y)( (2x)^2 — 2x(x-y) + (x-y)^2 )\). Суммируем основания: \(2x + x — y = 3x — y\). Рассчитаем вторую скобку: \((2x)^2 = 4x^2\), \(-2x(x-y) = -2x^2 + 2xy\), \((x-y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Складываем: \(4x^2 — 2x^2 + 2xy + x^2 — 2xy + y^2 = 3x^2 + y^2\). Итог: \((3x — y)(3x^2 + y^2)\).

д) Выражение \(27a^3 — (a-b)^3\) — разность кубов, где \(27a^3 = (3a)^3\). Применяем формулу разности кубов: \((3a)^3 — (a-b)^3 = (3a — (a-b))( (3a)^2 + 3a(a-b) + (a-b)^2 )\). Вычитаем основания: \(3a — a + b = 2a + b\). Считаем вторую скобку: \((3a)^2 = 9a^2\), \(3a(a-b) = 3a^2 — 3ab\), \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Складываем: \(9a^2 + 3a^2 — 3ab + a^2 — 2ab + b^2 = 13a^2 — 5ab + b^2\). Получаем \((2a + b)(13a^2 — 5ab + b^2)\).

е) В выражении \(1000 + (b-8)^3\) заметим, что \(1000 = 10^3\). Это сумма кубов: \(10^3 + (b-8)^3\). По формуле суммы кубов: \((10 + b — 8)(10^2 — 10(b-8) + (b-8)^2)\). Складываем основания: \(10 + b — 8 = b + 2\). Вычисляем вторую скобку: \(10^2 = 100\), \(-10(b-8) = -10b + 80\), \((b-8)^2 = b^2 — 16b + 64\). Складываем: \(100 — 10b + 80 + b^2 — 16b + 64 = 244 — 26b + b^2\). Итог: \((b + 2)(244 — 26b + b^2)\).