ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1012 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите тождество
$$(a^2+b^2)(ab+cd)-ab(a^2+b^2-c^2-d^2)=(ac+bd)(ad+bc).$$

(a^2 + b^2)(ab + cd) — ab(a^2 + b^2 — c^2 — d^2) = (ac + bd)(ad + bc)

Раскроем скобки и упростим левую часть:

a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd — a^3b — ab^3 + abc^2 + abd^2 = (ac + bd)(ad + bc)

Сократим одинаковые слагаемые:

a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = (ac + bd)(ad + bc)

Вынесем общие множители:

ac(ad + cb) + bd(bc + ad) = (ac + bd)(ad + bc)

Перегруппируем множители:

(ad + bc)(ac + bd) = (ac + bd)(ad + bc)

(a^2 + b^2)(ab + cd) — ab(a^2 + b^2 — c^2 — d^2) = (ac + bd)(ad + bc)

Для начала раскроем скобки в левой части выражения. Перемножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое из второй: \( (a^2 + b^2)(ab + cd) = a^2 \cdot ab + a^2 \cdot cd + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot cd = a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd \). Далее раскроем скобки в выражении \( ab(a^2 + b^2 — c^2 — d^2) \), получаем \( a^3b + ab^3 — abc^2 — abd^2 \). Теперь вычитаем второе выражение из первого, что даёт: \( a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd — a^3b — ab^3 + abc^2 + abd^2 \).

После раскрытия скобок и упрощения видим, что слагаемые \( a^3b \) и \( ab^3 \) сокращаются, так как они встречаются с противоположным знаком. Остаётся сумма \( a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 \). Здесь можно сгруппировать члены с общими множителями: \( a^2cd + b^2cd = cd(a^2 + b^2) \) и \( abc^2 + abd^2 = ab(c^2 + d^2) \). Однако для дальнейшего упрощения удобнее рассмотреть правую часть уравнения.

Правая часть выражения — это произведение двух сумм: \( (ac + bd)(ad + bc) \). Раскроем скобки: \( ac \cdot ad + ac \cdot bc + bd \cdot ad + bd \cdot bc = a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd \). Именно это выражение совпадает с левой частью после сокращения, что подтверждает равенство. Таким образом, исходное выражение преобразовано корректно и упрощено до равенства \( a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = (ac + bd)(ad + bc) \), что доказывает исходное тождество.