ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1023 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \(7a^3 + 7b^3\);
б) \(2a^4 — 2b^4\);
в) \(5a^4 + 5b^4\);
г) \(2,5a^6 — 2,5b^6\);
д) \(1,2a^6 + 1,2b^6\);
е) \(3a^8 — 3b^8\).

а) \(7a^3 + 7b^3 = 7 \cdot (a^3 + b^3) = 7 \cdot (a + b)(a^2 — ab + b^2)\)

б) \(2a^4 — 2b^4 = 2 \cdot (a^4 — b^4) = 2 \cdot (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) =\) \(= 2 \cdot (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)\)

в) \(5a^4 + 5b^4 = 5 \cdot (a^4 + b^4)\)

г) \(2,5a^6 — 2,5b^6 = 2,5 \cdot (a^6 — b^6) = 2,5 \cdot (a^3 — b^3)(a^3 + b^3) =\) \(= 2,5 \cdot (a — b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 — ab + b^2)\)

д) \(1,2a^6 + 1,2b^6 = 1,2 \cdot (a^6 + b^6) = 1,2 \cdot (a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4)\)

е) \(3a^8 — 3b^8 = 3 \cdot (a^8 — b^8) = 3 \cdot (a^4 — b^4)(a^4 + b^4) =\) \(= 3 \cdot (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = 3 \cdot (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)\)

а) В данном выражении мы видим сумму кубов: \(7a^3 + 7b^3\). Сначала вынесем общий множитель 7 за скобки, получим \(7(a^3 + b^3)\). Далее применяем формулу разложения суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Это классическая формула, которая позволяет представить сумму кубов в виде произведения двух множителей — линейного и квадратичного. Таким образом, итоговое выражение будет \(7 \cdot (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются суммы кубов. Формула работает для любых значений переменных \(a\) и \(b\), а также помогает выявить корни или факторизовать выражение. Важно заметить, что в этом процессе мы не меняем значение выражения, а лишь переписываем его в удобной форме.

б) Здесь рассматривается разность четвёртых степеней: \(2a^4 — 2b^4\). Аналогично первому примеру, сначала выносим общий множитель 2: \(2(a^4 — b^4)\). Далее используем формулу разности квадратов, но на уровне четвёртых степеней: \(a^4 — b^4 = (a^2)^2 — (b^2)^2\). Это позволяет разложить выражение как произведение разности и суммы квадратов: \((a^2 — b^2)(a^2 + b^2)\).

Далее \(a^2 — b^2\) раскладываем снова по формуле разности квадратов: \((a — b)(a + b)\). В итоге получается разложение \(2 \cdot (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)\). Такое разложение удобно для дальнейших преобразований и упрощений, а также для нахождения корней многочлена.

в) В этом случае у нас сумма четвёртых степеней с множителем 5: \(5a^4 + 5b^4\). Вынесем 5 за скобки: \(5(a^4 + b^4)\). Здесь нет стандартной формулы для суммы четвёртых степеней, которая бы раскладывалась на множители с вещественными коэффициентами, как в предыдущих случаях с кубами или квадратами. Поэтому выражение оставляем в таком виде, так как \(a^4 + b^4\) — это уже упрощённая форма.

г) Рассматриваем разность шестых степеней с множителем 2,5: \(2,5a^6 — 2,5b^6\). Сначала выносим 2,5: \(2,5(a^6 — b^6)\). Для разности степеней с чётным показателем степени существует формула разложения. Шестая степень — это квадрат куба, поэтому \(a^6 — b^6 = (a^3)^2 — (b^3)^2\), что по формуле разности квадратов раскладывается как \((a^3 — b^3)(a^3 + b^3)\).

Далее каждое из этих выражений раскладываем по формулам суммы и разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\) и \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). В итоге получается разложение \(2,5 \cdot (a — b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Это разложение позволяет полностью факторизовать исходный многочлен.

д) В этом выражении рассматривается сумма шестых степеней с множителем 1,2: \(1,2a^6 + 1,2b^6\). Выносим 1,2: \(1,2(a^6 + b^6)\). Сумма шестых степеней раскладывается через квадраты и четвертые степени: \(a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4)\). Это известная формула для суммы степеней, которая позволяет представить выражение в виде произведения двух множителей.

Такое разложение полезно, когда нужно упростить выражение или найти корни уравнения. Важно отметить, что \(a^4 — a^2b^2 + b^4\) не раскладывается дальше на множители с вещественными коэффициентами, поэтому оставляем его в таком виде.

е) Здесь дана разность восьмых степеней с множителем 3: \(3a^8 — 3b^8\). Выносим 3: \(3(a^8 — b^8)\). Разность степеней восьмой степени раскладываем, используя формулу разности квадратов: \(a^8 — b^8 = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4)\).

Далее \(a^4 — b^4\) раскладываем как разность квадратов: \((a^2 — b^2)(a^2 + b^2)\), и разность квадратов \(a^2 — b^2\) раскладываем ещё раз: \((a — b)(a + b)\). В итоге получается полное разложение \(3 \cdot (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)\).

Такое многоступенчатое разложение позволяет выразить исходный многочлен через произведение множителей меньшей степени, что значительно упрощает работу с ним в дальнейшем, например, при решении уравнений или вычислении значений.