ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1024 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что число, равное разности \(111111 — 222\), является квадратом натурального числа.

\(111111 — 222 = 111 \cdot (1001 — 2) = 111 \cdot 999 = 111 \cdot (111 \cdot 9) =\) \(= 111 \cdot (111 \cdot 3 \cdot 3) = 111^2 \cdot 3^2 = (111 \cdot 3)^2 = 333^2\) — что и требовалось доказать.

111111 — 222 можно представить как произведение числа 111 и некоторой разности. Для начала заметим, что 111111 — это число, которое можно разложить как \(111 \cdot 1001\), так как \(111 \times 1001 = 111111\). Тогда выражение принимает вид \(111111 — 222 = 111 \cdot 1001 — 222\). Для удобства перепишем 222 как \(111 \cdot 2\), чтобы получить общий множитель 111: \(111 \cdot 1001 — 111 \cdot 2\). Теперь можно вынести 111 за скобки: \(111 \cdot (1001 — 2)\). Это упрощает выражение до \(111 \cdot 999\).

Далее рассмотрим число 999. Его можно разложить на простые множители: \(999 = 111 \cdot 9\). Подставим это в выражение: \(111 \cdot 999 = 111 \cdot (111 \cdot 9)\). Получаем \(111 \cdot 111 \cdot 9 = 111^2 \cdot 9\). Число 9 можно представить как \(3^2\), тогда выражение примет вид \(111^2 \cdot 3^2\). Это произведение квадратов двух чисел, что позволяет записать результат как квадрат произведения этих чисел: \((111 \cdot 3)^2\).

Наконец, умножим 111 на 3, получим 333. Таким образом, исходное выражение можно представить как \(333^2\). Это и есть конечный результат, который мы хотели доказать: \(111111 — 222 = 333^2\). Такое преобразование показывает, что разность исходных чисел равна квадрату числа 333, что и требовалось доказать.