ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1025 Макарычев — Подробные Ответы

Преобразуйте в произведение выражение:
а) \(9c^{15} — c^{13}\);
б) \(x^2 — \frac{1}{49}x^{20}\);
в) \(a^5 — 0,064a^2\);
г) \(y^7 — \frac{17}{9}y^5\).

а) \(9c^{15} — 13 = c^{13} \cdot (9c^2 — 1) = c^{13} \cdot (3c — 1)(3c + 1)\)

б) \(x^{22} — \frac{1}{49} x^{20} = x^{20} \cdot \left(x^2 — \frac{1}{49}\right) = x^{20} \cdot \left(x — \frac{1}{7}\right) \left(x + \frac{1}{7}\right)\)

в) \(a^5 — 0,64a^2 = a^2 \cdot (a^3 — 0,64) = a^2 \cdot (a — 0,8)(a^2 + 0,8a + 0,64)\)

г) \(y^7 — \frac{7}{9} y^5 = y^5 \cdot \left(y^2 — \frac{16}{9}\right) = y^5 \cdot \left(y — \frac{4}{3}\right) \left(y + \frac{4}{3}\right)\)

а) В данном выражении \(9c^{15} — 13\) сначала выделяем общий множитель. Заметим, что \(9c^{15}\) можно представить как \(c^{13} \cdot 9c^2\), а число 13 записано отдельно. Тогда выражение переписываем как \(c^{13} \cdot (9c^2) — 13\). Далее замечаем, что \(9c^2 — 1\) можно разложить по формуле разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = 3c\), \(b = 1\), поэтому \(9c^2 — 1 = (3c — 1)(3c + 1)\). Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения \(c^{13} \cdot (3c — 1)(3c + 1)\).

Такое разложение удобно, так как позволяет упростить выражение и использовать его для дальнейших расчетов или преобразований. Основная идея — выделить общий множитель \(c^{13}\) и применить формулу разности квадратов к оставшейся части, что даёт разложение на простые множители.

б) В выражении \(x^{22} — \frac{1}{49} x^{20}\) сначала выделяем общий множитель \(x^{20}\), так как это минимальная степень \(x\), которая есть в обеих слагаемых. Получаем \(x^{20} \cdot \left(x^2 — \frac{1}{49}\right)\). Далее замечаем, что в скобках стоит разность квадратов: \(x^2 — \left(\frac{1}{7}\right)^2\). По формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = x\), \(b = \frac{1}{7}\), раскладываем скобки как \(\left(x — \frac{1}{7}\right) \left(x + \frac{1}{7}\right)\).

Такой приём позволяет упростить выражение, выделив общий множитель и применив классическую формулу разложения, что облегчает последующую работу с выражением и помогает при решении уравнений или упрощении.

в) Рассмотрим выражение \(a^5 — 0,64 a^2\). Сначала выделяем общий множитель \(a^2\), так как это минимальная степень \(a\) в обоих слагаемых. Записываем как \(a^2 \cdot (a^3 — 0,64)\). Следующий шаг — разложение \(a^3 — 0,64\). Число 0,64 можно представить как \(0,8^2\), но для куба важно заметить, что \(0,64 = (0,8)^2\), а нам нужно кубическое разложение, поэтому применим формулу разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = a\), \(b = 0,8\). Тогда \(a^3 — 0,64 = (a — 0,8)(a^2 + 0,8 a + 0,64)\).

Такой подход позволяет разложить сложное выражение на множители, что упрощает дальнейшую работу с ним, включая вычисления и анализ.

г) В выражении \(y^7 — \frac{7}{9} y^5\) сначала выделяем общий множитель \(y^5\), так как это минимальная степень \(y\) в обеих частях. Получаем \(y^5 \cdot \left(y^2 — \frac{16}{9}\right)\). Далее замечаем, что внутри скобок стоит разность квадратов: \(y^2 — \left(\frac{4}{3}\right)^2\). По формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = y\), \(b = \frac{4}{3}\), раскладываем скобки как \(\left(y — \frac{4}{3}\right) \left(y + \frac{4}{3}\right)\).

Этот метод позволяет упростить выражение, выделяя общий множитель и используя классическую формулу разложения разности квадратов, что полезно для дальнейших преобразований и анализа выражения.