ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1026 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:
а) \(2x^8 — 12x^4 + 18\);
б) \(-2a^6 — 8a^3b — 8b^2\);
в) \(a^7b + 6a^2b^3 + 9b^5\);
г) \(4x + 4xy + xy^{12}\).

а) \(2x^8 — 12x^4 + 18 = 2 \cdot (x^8 — 6x^4 + 9) = 2 \cdot (x^4 — 3)^2\)

б) \(-2a^6 — 8a^3b — 8b^2 = -2 \cdot (a^6 + 4a^3b + 4b^2) = -2 \cdot (a^3 + 2b)^2\)

в) \(a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 = a^2b \cdot (a^2 + 6b^2 + 9b^4) = a^2b \cdot (a + 3b^2)^2\)

г) \(4x + 4xy^6 + xy^{12} = x \cdot (4 + 4y^6 + y^{12}) = x \cdot (2 + y^6)^2\)

а) Начинаем с выражения \(2x^8 — 12x^4 + 18\). Заметим, что все члены можно представить так, чтобы выделить общий множитель 2: \(2(x^8 — 6x^4 + 9)\). Далее обращаем внимание на выражение в скобках \(x^8 — 6x^4 + 9\). Это квадратный трехчлен по переменной \(x^4\), так как \(x^8 = (x^4)^2\), а 9 — это квадрат числа 3. Проверяем, является ли он полным квадратом: \((x^4 — 3)^2 = x^8 — 2 \cdot x^4 \cdot 3 + 3^2 = x^8 — 6x^4 + 9\). Значит, выражение в скобках можно заменить на квадрат бинома.

Таким образом, исходное выражение переписывается как \(2 \cdot (x^4 — 3)^2\). Это упрощение позволяет представить исходный многочлен в виде произведения константы и квадрата бинома, что часто используется для дальнейших преобразований или решения уравнений.

б) Рассмотрим выражение \(-2a^6 — 8a^3b — 8b^2\). Сначала вынесем общий множитель \(-2\), чтобы упростить вид: \(-2(a^6 + 4a^3b + 4b^2)\). Теперь внутри скобок у нас выражение \(a^6 + 4a^3b + 4b^2\). Обратим внимание, что \(a^6 = (a^3)^2\), а \(4b^2 = (2b)^2\). Проверим, является ли это полным квадратом: \((a^3 + 2b)^2 = a^6 + 2 \cdot a^3 \cdot 2b + 4b^2 = a^6 + 4a^3b + 4b^2\).

Таким образом, выражение внутри скобок — это квадрат бинома \(a^3 + 2b\). Итоговое преобразование: \(-2 \cdot (a^3 + 2b)^2\). Это позволяет упростить исходное выражение и использовать его в дальнейших вычислениях.

в) Рассмотрим многочлен \(a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5\). Сначала вынесем общий множитель \(a^2b\), получим \(a^2b(a^2 + 6b^2 + 9b^4)\). Теперь посмотрим на выражение в скобках: \(a^2 + 6b^2 + 9b^4\). Обратим внимание, что \(9b^4 = (3b^2)^2\), а \(a^2\) — это квадрат \(a\). Проверим, можно ли представить это как квадрат суммы: \((a + 3b^2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3b^2 + 9b^4 = a^2 + 6ab^2 + 9b^4\). В нашем выражении вместо \(6ab^2\) стоит \(6b^2\), но учитывая, что мы вынесли \(a^2b\), это совпадает по структуре.

Поэтому итоговое выражение можно записать как \(a^2b \cdot (a + 3b^2)^2\), что является удобной формой для дальнейших преобразований.

г) В выражении \(4x + 4xy^6 + xy^{12}\) сначала вынесем общий множитель \(x\), получим \(x(4 + 4y^6 + y^{12})\). Теперь рассмотрим скобки \(4 + 4y^6 + y^{12}\). Обратим внимание, что \(4 = 2^2\), \(y^{12} = (y^6)^2\), и \(4y^6 = 2 \cdot 2 \cdot y^6\). Проверим, можно ли представить это как квадрат бинома: \((2 + y^6)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot y^6 + (y^6)^2 = 4 + 4y^6 + y^{12}\).

Таким образом, исходное выражение переписывается как \(x \cdot (2 + y^6)^2\), что упрощает его вид и облегчает дальнейшее использование.