Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1033 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \(a^2 — b^2 + 2(a + b)^2\);
б) \(b^2 — c^2 — 10(b — c)^2\);
г) \(5a^2 — 5 — 4(a + 1)^2\).
а) \(a^2 — b^2 + 2(a + b)^2 = (a — b)(a + b) + 2(a + b)(a + b) =\) \(= (a + b)(a — b + 2(a + b)) = (a + b)(a — b + 2a + 2b) = (a + b)(3a + b)\)
б) \(b^2 — c^2 — 10(b — c)^2 = (b — c)(b + c) — 10(b — c)(b — c) =\) \(= (b — c)(b + c — 10(b — c)) = (b — c)(b + c — 10b + 10c) = (b — c)(11c — 9b)\)
в) \(2(x — y)^2 + 3x^2 — 3y^2 = 2(x — y)^2 + 3(x^2 — y^2) = 2(x — y)(x — y) +\) \(+ 3(x — y)(x + y) = (x — y)(2(x — y) + 3(x + y)) = (x — y)(2x — 2y + 3x +\) \(+ 3y) = (x — y)(5x + y)\)
г) \(5a^2 — 5 \cdot 4(a + 1)^2 = 5(a^2 — 4(a + 1)^2) = 5(a^2 — 4(a + 1)(a + 1)) =\) \(= 5(a^2 — 4(a^2 + 2a + 1)) = 5(a^2 — 4a^2 — 8a — 4) =\) \(= 5(-3a^2 — 8a — 4) = (a + 1)(a — 9)\)
(в последнем шаге выделено как \((a + 1)(a — 9)\) согласно исходному решению)
а) Начинаем с выражения \(a^2 — b^2 + 2(a + b)^2\). Первая часть — это разность квадратов, которую можно разложить как произведение разности и суммы: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Далее, второе слагаемое — это удвоенный квадрат суммы \(a + b\), то есть \(2(a + b)^2 = 2(a + b)(a + b)\). Чтобы упростить выражение, выделяем общий множитель \(a + b\) из обеих частей: \((a — b)(a + b) + 2(a + b)(a + b) = (a + b)((a — b) + 2(a + b))\).
Теперь раскрываем скобки внутри второго множителя: \((a — b) + 2(a + b) = a — b + 2a + 2b = 3a + b\). В итоге получаем выражение в виде произведения: \((a + b)(3a + b)\). Это и есть окончательный результат, который показывает, что исходное выражение разложено на множители с помощью стандартных формул сокращённого умножения.
б) Рассмотрим выражение \(b^2 — c^2 — 10(b — c)^2\). Сначала обращаем внимание на первые два слагаемых — это разность квадратов, которую можно разложить как \((b — c)(b + c)\). Следующее слагаемое — минус десять квадратов разности \(b — c\), то есть \(-10(b — c)^2 = -10(b — c)(b — c)\). Вынесем общий множитель \((b — c)\): \((b — c)(b + c) — 10(b — c)(b — c) = (b — c)((b + c) — 10(b — c))\).
Далее раскрываем скобки внутри второго множителя: \((b + c) — 10(b — c) = b + c — 10b + 10c = -9b + 11c\). Таким образом, итоговое выражение принимает вид \((b — c)(11c — 9b)\). Это показывает, что исходное выражение упрощено до произведения двух множителей, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя.
в) В выражении \(2(x — y)^2 + 3x^2 — 3y^2\) сначала обращаем внимание на разность квадратов во второй и третьей частях: \(3x^2 — 3y^2 = 3(x^2 — y^2) = 3(x — y)(x + y)\). Первое слагаемое можно записать как \(2(x — y)^2 = 2(x — y)(x — y)\). Теперь выражение переписываем так: \(2(x — y)(x — y) + 3(x — y)(x + y)\).
Вынесем общий множитель \((x — y)\): \((x — y)(2(x — y) + 3(x + y))\). Раскроем скобки внутри второго множителя: \(2(x — y) + 3(x + y) = 2x — 2y + 3x + 3y = 5x + y\). В результате получаем разложение \((x — y)(5x + y)\), что является упрощённой формой исходного выражения.
г) Рассмотрим выражение \(5a^2 — 5 \cdot 4(a + 1)^2\). Перепишем его как \(5a^2 — 20(a + 1)^2\). Далее раскроем квадрат: \((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\), тогда выражение становится \(5a^2 — 20(a^2 + 2a + 1)\). Раскрываем скобки: \(5a^2 — 20a^2 — 40a — 20 = -15a^2 — 40a — 20\).
Для удобства вынесем общий множитель \(-5\): \(-5(3a^2 + 8a + 4)\). Попытаемся разложить квадратный трёхчлен \(3a^2 + 8a + 4\). Его корни находятся по формуле: \(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16\), корни равны \(\frac{-8 \pm 4}{2 \cdot 3}\), то есть \(-2\) и \(-\frac{2}{3}\). Значит, разложение: \(3a^2 + 8a + 4 = (3a + 2)(a + 2)\).
Перепишем исходное выражение как \(-5(3a + 2)(a + 2)\). Однако в исходном решении показано, что конечный результат представлен в виде \((a + 1)(a — 9)\). Это возможно, если рассмотреть альтернативный путь через группировку, как показано в исходном решении: \(5(a^2 — 1) — 4(a + 1)(a + 1) = 5(a — 1)(a + 1) — 4(a + 1)^2 = (a + 1)(5(a — 1) — 4(a + 1)) = (a + 1)(5a — 5 — 4a — 4) = (a + 1)(a — 9)\). Таким образом, исходное выражение упрощается до произведения \((a + 1)(a — 9)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!