ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1035 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\);
г) \(p^3 — 2p^2 + 2p — 1\);
б) \(x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2)\);
д) \(8b^3 + 6b^2 + 3b + 1\);
в) \(2b^3 + a(a^2 — 3b^2)\);
е) \(a^3 — 4a^2 + 20a — 125\).

а) \(x^3 + y^3 + 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 — xy + y^2) +\) \(+ 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 — xy + y^2 + 2xy) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)\)

б) \(x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2) = (x — y)(x^2 + xy + y^2) -\) \(- 5x(x^2 + xy + y^2) = (x^2 + xy + y^2)(x — y — 5x) =\) \(= (x^2 + xy + y^2)(-4x — y)\)

в) \(2b^3 + a(a^2 — 3b^2) = 2b^3 + a^3 — 3ab^2 = a^3 — b^3 + 3b^3 — 3ab^2 =\) \(= (a — b)(a^2 + ab + b^2) — 3b^2(a — b) = (a — b)(a^2 + ab + b^2 — 3b^2) =\) \(= (a — b)(a^2 + ab — 2b^2)\)

г) \(p^3 — 2p^2 + 2p — 1 = (p^3 — 1) — 2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1) -\) \(- 2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1 — 2p) = (p — 1)(p^2 — p + 1)\)

д) \(8b^3 + 6b^2 + 3b + 1 = (8b^3 + 1) + 3b(2b + 1) =\) \(+ (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1 + 3b) =\) \(= (2b + 1)(4b^2 + b + 1)\)

е) \(a^3 — 4a^2 + 20a — 125 = (a^3 — 125) — 4a(a — 5) =\) \(= (a — 5)(a^2 + 5a + 25) — 4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a + 25 — 4a) =\) \(= (a — 5)(a^2 + a + 25)\)

а) Начинаем с выражения \(x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\). Первым шагом выделяем общий множитель \(x + y\) в первых двух слагаемых, используя формулу суммы кубов: \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Тогда выражение можно переписать как \((x + y)(x^2 — xy + y^2) + 2xy(x + y)\). Далее замечаем, что во втором слагаемом тоже есть множитель \(x + y\), поэтому объединяем оба слагаемых в один: \((x + y)(x^2 — xy + y^2 + 2xy)\). Внутри скобок упрощаем выражение, складывая подобные члены: \(-xy + 2xy = xy\). В итоге получаем \((x + y)(x^2 + xy + y^2)\).

Такое преобразование полезно, потому что позволяет представить исходный многочлен в виде произведения двух множителей, что упрощает дальнейшую работу с выражением, например, при решении уравнений или при упрощении. Формула суммы кубов и выделение общего множителя — классические приемы алгебраических преобразований, которые часто встречаются в школьной алгебре.

б) В выражении \(x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2)\) первым шагом выделяем разность кубов: \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\). Тогда исходное выражение переписываем как \((x — y)(x^2 + xy + y^2) — 5x(x^2 + xy + y^2)\). Видим, что в обоих слагаемых есть общий множитель \(x^2 + xy + y^2\), поэтому можно вынести его за скобки: \((x^2 + xy + y^2)(x — y — 5x)\). Внутри второй скобки упрощаем выражение: \(x — y — 5x = -4x — y\). Итоговое выражение принимает вид \((x^2 + xy + y^2)(-4x — y)\).

Такое разложение позволяет заменить сложное выражение на произведение двух множителей, что значительно упрощает вычисления и анализ. Выделение общего множителя и использование формулы разности кубов — стандартные методы упрощения алгебраических выражений.

в) Рассмотрим выражение \(2b^3 + a(a^2 — 3b^2)\). Раскрываем скобки: \(2b^3 + a^3 — 3ab^2\). Перегруппируем слагаемые: \(a^3 — b^3 + 3b^3 — 3ab^2\). Заметим, что \(a^3 — b^3\) — разность кубов, которая раскладывается как \((a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Остаток \(3b^3 — 3ab^2\) можно представить как \(3b^2(b — a)\), что равно \(-3b^2(a — b)\). Тогда выражение переписываем как \((a — b)(a^2 + ab + b^2) — 3b^2(a — b)\). Вынесем общий множитель \((a — b)\): \((a — b)(a^2 + ab + b^2 — 3b^2)\). Упростим выражение в скобках: \(b^2 — 3b^2 = -2b^2\). Получаем окончательный вид \((a — b)(a^2 + ab — 2b^2)\).

Этот прием показывает, как можно использовать формулы разложения кубов и выделение общего множителя для упрощения сложных выражений. Перегруппировка и замена частей выражения позволяют получить компактный и удобный для дальнейших вычислений вид.

г) В выражении \(p^3 — 2p^2 + 2p — 1\) сначала сгруппируем слагаемые так: \((p^3 — 1) — 2p(p — 1)\). Заметим, что \(p^3 — 1\) — разность кубов, которая раскладывается как \((p — 1)(p^2 + p + 1)\). Значит, выражение можно записать как \((p — 1)(p^2 + p + 1) — 2p(p — 1)\). Вынесем общий множитель \((p — 1)\): \((p — 1)(p^2 + p + 1 — 2p)\). Упростим скобки: \(p + 1 — 2p = -p + 1\). Итог: \((p — 1)(p^2 — p + 1)\).

Такое разложение позволяет представить многочлен третьей степени в виде произведения двух множителей, что облегчает анализ и решение уравнений. Использование формулы разности кубов и выделение общего множителя — ключевые шаги в этом процессе.

д) Рассмотрим многочлен \(8b^3 + 6b^2 + 3b + 1\). Сгруппируем слагаемые: \((8b^3 + 1) + 3b(2b + 1)\). Заметим, что \(8b^3 + 1\) — сумма кубов, раскладывающаяся как \((2b + 1)(4b^2 — 2b + 1)\). Тогда выражение перепишем как \((2b + 1)(4b^2 — 2b + 1) + 3b(2b + 1)\). Вынесем общий множитель \((2b + 1)\): \((2b + 1)(4b^2 — 2b + 1 + 3b)\). Упростим скобки: \(-2b + 3b = b\). Получаем итог: \((2b + 1)(4b^2 + b + 1)\).

Такое разложение полезно, поскольку позволяет заменить сложный многочлен на произведение двух более простых, что облегчает вычисления и понимание структуры выражения.

е) В выражении \(a^3 — 4a^2 + 20a — 125\) сначала выделим разность кубов: \(a^3 — 125 = (a — 5)(a^2 + 5a + 25)\). Тогда исходное выражение перепишем как \((a^3 — 125) — 4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a + 25) — 4a(a — 5)\). Вынесем общий множитель \((a — 5)\): \((a — 5)(a^2 + 5a + 25 — 4a)\). Упростим скобки: \(5a — 4a = a\). Итоговое выражение: \((a — 5)(a^2 + a + 25)\).

Это разложение показывает, как можно использовать формулы разности кубов и выделение общего множителя для упрощения многочленов, что важно для решения уравнений и упрощения алгебраических выражений.