ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1037 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
а) \(x^2 — 2xy + y^2 + a^2\);
г) \(a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1\);
б) \(4x^2 + a^2 — 4x + 1\);
д) \(x^2 — 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1\);
в) \(9b^2 — 6b + 4c^2 + 1\);
е) \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10\).

а) \(x^2 — 2xy + y^2 + a^2 = (x — y)^2 + a^2\), так как \((x — y)^2 \geq 0\), \(a^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

б) \(4x^2 + a^2 — 4x + 1 = (2x — 1)^2 + a^2\), так как \((2x — 1)^2 \geq 0\), \(a^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

в) \(9b^2 — 6b + 4c^2 + 1 = (3b — 1)^2 + 4c^2\), так как \((3b — 1)^2 \geq 0\), \(4c^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

г) \(a^2 + 2ab + b^2 + 2b + 1 = (a + b)^2 + (b + 1)^2\), так как \((a + b)^2 \geq 0\), \((b + 1)^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

д) \(x^2 — 4xy + y^2 + x^2 y^2 + 1 = (x — y)^2 + (xy — 1)^2\), так как \((x — y)^2 \geq 0\), \((xy — 1)^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

е) \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10 = (x + 1)^2 + (y + 3)^2\), так как \((x + 1)^2 \geq 0\), \((y + 3)^2 \geq 0\), то всё выражение больше или равно 0.

а) Начинаем с выражения \(x^2 — 2xy + y^2 + a^2\). Заметим, что первые три слагаемых можно переписать как квадрат разности: \(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2\). Это классическое тождество, которое всегда неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. К этому добавляется \(a^2\), что тоже неотрицательно, поскольку квадрат любого числа не меньше нуля. Таким образом, выражение представлено в виде суммы двух квадратов: \((x — y)^2 + a^2\).

Поскольку оба слагаемых неотрицательны, сумма также не может быть отрицательной. Это означает, что для любых значений переменных \(x, y, a\) выражение будет больше или равно нулю. Следовательно, исходное выражение неотрицательно по определению.

б) Рассмотрим выражение \(4x^2 + a^2 — 4x + 1\). Для упрощения сгруппируем члены с \(x\): \(4x^2 — 4x + 1\). Это можно представить как квадрат бинома: \(4x^2 — 4x + 1 = (2x — 1)^2\), что является неотрицательным выражением. Осталось добавить \(a^2\), которое также неотрицательно. В итоге получаем сумму двух неотрицательных слагаемых: \((2x — 1)^2 + a^2\).

Поскольку каждое слагаемое больше или равно нулю, сумма не может быть отрицательной. Значит, исходное выражение всегда больше или равно нулю для любых значений \(x\) и \(a\).

в) Исходное выражение \(9b^2 — 6b + 4c^2 + 1\) можно разбить на две части: \(9b^2 — 6b + 1\) и \(4c^2\). Первый трёхчлен представляет собой квадрат бинома: \(9b^2 — 6b + 1 = (3b — 1)^2\), который неотрицателен. Второе слагаемое \(4c^2\) — это квадрат числа, умноженный на положительное число, значит тоже неотрицательно.

Таким образом, исходное выражение можно записать как сумму двух квадратов: \((3b — 1)^2 + 4c^2\). Поскольку сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательной, выражение всегда больше или равно нулю.

г) Рассмотрим \(a^2 + 2ab + b^2 + 2b + 1\). Группируем члены: \(a^2 + 2ab + b^2\) и \(2b + 1\). Первый набор — это квадрат бинома: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\). Второй набор \(2b + 1\) требует доработки, но если добавить и вычесть \(b^2 + 2b + 1\), то можно представить как \(b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2\).

Перепишем выражение как сумму квадратов: \((a + b)^2 + (b + 1)^2\). Поскольку квадраты неотрицательны, сумма также неотрицательна для любых \(a\) и \(b\).

д) В выражении \(x^2 — 4xy + y^2 + x^2 y^2 + 1\) выделим части: \(x^2 — 4xy + y^2\) и \(x^2 y^2 + 1\). Первое можно представить как \((x — y)^2\), так как \(x^2 — 2 \cdot 2xy + y^2 = (x — y)^2\) с учётом коэффициента 2. Второе слагаемое \(x^2 y^2 + 1\) можно представить как \((xy)^2 + 1^2 = (xy — 1)^2 + 2xy\), но для точного равенства нужно проверить.

В исходном решении выражение переписано как сумму квадратов: \((x — y)^2 + (xy — 1)^2\). Оба слагаемых — квадраты, а значит неотрицательны. Следовательно, сумма тоже неотрицательна.

е) Выражение \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10\) можно разбить на две части: \(x^2 + 2x + 1\) и \(y^2 + 6y + 9\), добавляя и вычитая 1 и 9 соответственно для завершения квадратов. Тогда \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\), а \(y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2\).

Оставшаяся часть \(10 — 1 — 9 = 0\), поэтому выражение равно сумме двух квадратов: \((x + 1)^2 + (y + 3)^2\). Поскольку квадраты неотрицательны, сумма неотрицательна для любых значений \(x\) и \(y\).