Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1040 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите тождество \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25\). Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу \(25^2\), \(45^2\), \(75^2\), \(115^2\).
(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25
100n^2 + 100n + 25 = 100n^2 + 100n + 25 — что и требовалось доказать.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, нужно 100 умножить на число десятков и умножить на следующее за ним число, затем прибавить 25.
\(25^2 = 100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 = 200 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625.\)
\(45^2 = 100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 25 = 400 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025.\)
\(75^2 = 100 \cdot 7 \cdot (7 + 1) + 25 = 700 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625.\)
\(115^2 = 100 \cdot 11 \cdot (11 + 1) + 25 = 1100 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225.\)
(10n + 5)^2 представляет собой квадрат двучлена, где первая часть — это десятичное число, умноженное на переменную \(n\), а вторая — постоянное число 5. Чтобы возвести этот двучлен в квадрат, используем формулу квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(a = 10n\), \(b = 5\), тогда выразим квадрат как \( (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 \). Это даёт \(100n^2 + 100n + 25\). Далее, выражение \(100n(n + 1) + 25\) раскрывается в \(100n^2 + 100n + 25\). Таким образом, левая и правая части равенства совпадают, что доказывает правильность формулы.
Чтобы лучше понять, почему эта формула работает, рассмотрим число, оканчивающееся на 5. Его можно представить как \(10n + 5\), где \(n\) — число десятков. При возведении в квадрат, мы фактически умножаем это число само на себя. Формула \(100n(n + 1) + 25\) отражает этот процесс: сначала вычисляется произведение \(n\) и следующего за ним числа \(n + 1\), умноженное на 100, что соответствует смещению разрядов, а затем прибавляется 25 — квадрат последней цифры 5. Это упрощает вычисления, позволяя быстро найти квадрат числа без прямого умножения.
Примеры показывают, как применять эту формулу на практике. Для \(25^2\), \(n = 2\), тогда \(100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625\). Аналогично, для \(45^2\), \(n = 4\), и вычисление даёт \(100 \cdot 4 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025\). При \(75^2\), \(n = 7\), результат равен \(100 \cdot 7 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625\). Для более крупного числа \(115^2\), \(n = 11\), формула даёт \(100 \cdot 11 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225\). Эти примеры подтверждают универсальность и удобство формулы для чисел, оканчивающихся на 5.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!