ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1078 Макарычев — Подробные Ответы

Выясните, имеет ли система решения и сколько:

а) \(\begin{cases} 4y — x = 12, \\ 3y + x = -3 \end{cases}\),

б) \(\begin{cases} y — 3x = 0, \\ 3y — x = 6 \end{cases}\),

в) \(\begin{cases} 1.5x = 1, \\ -3x + 2y = -2 \end{cases}\),

г) \(\begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0.5x \end{cases}\),

д) \(\begin{cases} 2x = 11 — 2y, \\ 6y = 22 — 4x \end{cases}\),

е) \(\begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10 \end{cases}\),

ж) \(\begin{cases} 12x — 3y = 5, \\ 6y — 24x = -10 \end{cases}\).

а) Решаем систему:
\(4y — x = 12\)
\(3y + x = -3\)

Выразим \(y\):
\(y = \frac{12 + x}{4}\) и \(y = \frac{-3 — x}{3}\) — коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

б) Система:
\(y — 3x = 0\)
\(3y — x = 6\)

Выразим \(y\):
\(y = 3x\) и \(y = \frac{6 + x}{3}\) — коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

в) Система:
\(1,5x = 1\)
\(-3x + 2y = -2\)

Выразим \(x\):
\(x = \frac{1}{1,5}\) и \(x = \frac{2 — 2y}{3}\) — коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

г) Система:
\(x + 2y = 3\)
\(y = -0,5x\)

Выразим \(y\):
\(y = \frac{3 — x}{2}\) и \(y = -0,5x\) — коэффициенты одинаковые, но точки пересечения с осью \(y\) разные, значит решений нет (\(\emptyset\)).

д) Система:
\(2x = 11 — 2y\)
\(6y = 22 — 4x\)

Выразим \(y\):
\(y = \frac{11 — 2x}{2}\) и \(y = \frac{11 — 2x}{3}\) — коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

е) Система:
\(-x + 2y = 8\)
\(x + 4y = 10\)

Выразим \(y\):
\(y = 4 + 0,5x\) и \(y = 2,5 — 0,25x\) — коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

а) Рассматриваем систему уравнений: \(4y — x = 12\) и \(3y + x = -3\). Для удобства решения выразим \(y\) через \(x\) из каждого уравнения. Из первого уравнения получаем \(y = \frac{12 + x}{4}\), а из второго — \(y = \frac{-3 — x}{3}\). Теперь имеем две функции \(y\) от \(x\). Сравнивая коэффициенты при \(x\) и свободные члены, видим, что они разные, что говорит о том, что графики этих функций пересекаются в единственной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Далее, чтобы убедиться в этом, можно приравнять правые части: \(\frac{12 + x}{4} = \frac{-3 — x}{3}\). Решая это уравнение, найдем конкретное значение \(x\), а затем подставим его обратно для нахождения \(y\). Это подтверждает, что решения именно одно, так как уравнение линейное и коэффициенты при переменных не пропорциональны.

б) В системе \(y — 3x = 0\) и \(3y — x = 6\) выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 3x\). Подставляем во второе уравнение и получаем \(3(3x) — x = 6\), что упрощается до \(9x — x = 6\), или \(8x = 6\). Отсюда \(x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\), а \(y = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\). Коэффициенты при \(x\) и \(y\) в уравнениях не пропорциональны, следовательно, графики пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение.

Если бы коэффициенты были пропорциональны, а свободные члены различались, система была бы несовместной. В данном случае это не так, поэтому решение существует и уникально.

в) Дана система уравнений \(1,5x = 1\) и \(-3x + 2y = -2\). Сначала находим \(x\) из первого уравнения: \(x = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}\). Подставляем это значение во второе уравнение: \(-3 \cdot \frac{2}{3} + 2y = -2\), что даёт \(-2 + 2y = -2\). Отсюда \(2y = 0\), значит \(y = 0\). Коэффициенты при переменных в исходной системе различны, что обеспечивает единственное решение.

Проверка показывает, что при найденных значениях \(x\) и \(y\) оба уравнения выполняются. Это подтверждает, что система совместна и определена.

г) Рассматриваем систему \(x + 2y = 3\) и \(y = -0,5x\). Подставим второе уравнение в первое: \(x + 2(-0,5x) = 3\), что даёт \(x — x = 3\), или \(0 = 3\). Это противоречие означает, что система несовместна. Коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны, но свободные члены различны, поэтому решений нет.

Графически это значит, что линии параллельны и не пересекаются, следовательно, множество решений пусто, то есть \(\emptyset\).

д) Система задана уравнениями \(2x = 11 — 2y\) и \(6y = 22 — 4x\). Преобразуем первое к виду \(y = \frac{11 — 2x}{2}\), а второе — \(y = \frac{22 — 4x}{6} = \frac{11 — 2x}{3}\). Видно, что коэффициенты при \(x\) и свободные члены различны, что говорит о том, что линии пересекаются в одной точке.

Приравнивая выражения для \(y\), можно найти \(x\), а затем \(y\), подтверждая единственность решения.

е) Система \(-x + 2y = 8\) и \(x + 4y = 10\) преобразуется к виду \(y = 4 + 0,5x\) и \(y = 2,5 — 0,25x\). Коэффициенты при \(x\) и свободные члены в этих уравнениях различны, что означает, что графики пересекаются в одной точке.

Решая систему, приравниваем правые части и находим \(x\), затем подставляем в одно из уравнений для нахождения \(y\). Это подтверждает, что система имеет единственное решение.