ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1079 Макарычев — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

1079. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) \(\begin{cases}
x = 6y — 1, \\
2x — 10y = 3;
\end{cases}\)

б) \(\begin{cases}
5x + y = 4, \\
x + y — 6 = 0;
\end{cases}\)

в) \(\begin{cases}
12x — 3y = 5, \\
6y — 24x = -10?
\end{cases}\)

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.

2) Выполните совместно задание а).

3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

а) Система:
\( \begin{cases} x = 6y — 1 \\ 2x — 10y = 3 \end{cases} \)
Подставим \( x = 6y — 1 \) во второе уравнение:
\( 2(6y — 1) — 10y = 3 \Rightarrow 12y — 2 — 10y = 3 \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{2} \).
Тогда \( x = 6 \cdot \frac{5}{2} — 1 = 15 — 1 = 14 \).
Коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

б) Система:
\( \begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y — 6 = 0 \end{cases} \)
Из второго уравнения: \( y = 6 — x \). Подставим в первое:
\( 5x + 6 — x = 4 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \).
Тогда \( y = 6 — \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{13}{2} \).
Коэффициенты различны, значит система имеет единственное решение.

в) Система:
\( \begin{cases} 12x — 3y = 5 \\ 6y — 24x = -10 \end{cases} \)
Перепишем второе уравнение:
\( -24x + 6y = -10 \Rightarrow 24x — 6y = 10 \).
Умножим первое уравнение на 2:
\( 24x — 6y = 10 \) — совпадает со вторым.
Значит графики совпадают, система имеет бесконечно много решений.

а) В данной системе уравнений \( \begin{cases} x = 6y — 1 \\ 2x — 10y = 3 \end{cases} \) первое уравнение уже выражает переменную \( x \) через \( y \), что позволяет подставить это выражение во второе уравнение и получить уравнение с одной неизвестной. Подставляем \( x = 6y — 1 \) во второе уравнение: \( 2(6y — 1) — 10y = 3 \). Раскрываем скобки и упрощаем: \( 12y — 2 — 10y = 3 \), что даёт \( 2y — 2 = 3 \). После переноса свободного члена получаем \( 2y = 5 \), откуда \( y = \frac{5}{2} \). Таким образом, нашли значение \( y \).

Зная \( y \), возвращаемся к первому уравнению и вычисляем \( x \): \( x = 6 \cdot \frac{5}{2} — 1 = 15 — 1 = 14 \). Получили единственную пару решений \( (x, y) = (14, \frac{5}{2}) \). Коэффициенты при переменных в исходных уравнениях не пропорциональны, что говорит о том, что прямые, задаваемые этими уравнениями, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

б) Рассмотрим систему \( \begin{cases} 5x + y = 4 \\ x + y — 6 = 0 \end{cases} \). Из второго уравнения выражаем \( y \) через \( x \): \( y = 6 — x \). Подставим это в первое уравнение: \( 5x + (6 — x) = 4 \). Упрощаем: \( 5x + 6 — x = 4 \), что даёт \( 4x + 6 = 4 \). Переносим свободный член: \( 4x = -2 \), откуда \( x = -\frac{1}{2} \). Теперь находим \( y \): \( y = 6 — \left(-\frac{1}{2}\right) = 6 + \frac{1}{2} = \frac{13}{2} \).

Получили единственное решение системы: \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{13}{2}\right) \). Анализ коэффициентов показывает, что они не пропорциональны, значит линии, заданные уравнениями, пересекаются в одной точке. Это подтверждает наличие единственного решения.

в) В системе \( \begin{cases} 12x — 3y = 5 \\ 6y — 24x = -10 \end{cases} \) перепишем второе уравнение в более удобном виде. Перенесём все члены в левую часть: \( 6y — 24x = -10 \) эквивалентно \( -24x + 6y = -10 \), умножим обе части на \(-1\), получим \( 24x — 6y = 10 \). Теперь умножим первое уравнение на 2: \( 2(12x — 3y) = 24x — 6y = 10 \), что совпадает со вторым уравнением.

Это означает, что второе уравнение является линейной комбинацией первого и графики этих уравнений совпадают. Следовательно, система не имеет одного уникального решения, а имеет бесконечно много решений, так как обе прямые совпадают.