ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1084 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} y = x — 1, \\ 5x + 2y = 16; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x = 2 — y, \\ 3x — 2y — 11 = 0. \end{cases}\)

а) Решим второе уравнение:
\(5x + 2(x — 1) = 16\)
\(5x + 2x — 2 = 16\)
\(7x = 18\)
\(x = \frac{18}{7} = 2 \frac{4}{7}\).

Подставим в первое уравнение:
\(y = 2 \frac{4}{7} — 1 = 1 \frac{4}{7}\).

Ответ: \(\left(2 \frac{4}{7}; 1 \frac{4}{7}\right)\).

б) Решим второе уравнение:
\(3(2 — y) — 2y = 11\)
\(6 — 3y — 2y = 11\)
\(-5y = 5\)
\(y = -1\).

Подставим в первое уравнение:
\(x = 2 — (-1) = 3\).

Ответ: \((3; -1)\).

а) Для начала рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} y = x — 1 \\ 5x + 2y = 16 \end{cases}\).
Первое уравнение показывает, что переменная \(y\) выражается через \(x\) как \(y = x — 1\). Это позволяет подставить выражение \(x — 1\) вместо \(y\) во второе уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной \(x\). Подстановка нужна для упрощения системы и решения её по одному неизвестному.

Подставляем \(y = x — 1\) во второе уравнение:
\(5x + 2(x — 1) = 16\).
Раскрываем скобки, умножая 2 на каждое слагаемое:
\(5x + 2x — 2 = 16\).
Складываем подобные члены:
\(7x — 2 = 16\).
Далее переносим свободный член в правую часть:
\(7x = 16 + 2 = 18\).
Чтобы найти \(x\), делим обе части уравнения на 7:
\(x = \frac{18}{7} = 2 \frac{4}{7}\).

Теперь, зная значение \(x\), подставляем его обратно в первое уравнение, чтобы найти \(y\):
\(y = 2 \frac{4}{7} — 1 = 1 \frac{4}{7}\).
Таким образом, решение системы:
\(\left(2 \frac{4}{7}; 1 \frac{4}{7}\right)\).

б) Рассмотрим систему:
\(\begin{cases} x = 2 — y \\ 3x — 2y — 11 = 0 \end{cases}\).
Первое уравнение уже выражает \(x\) через \(y\), что упрощает задачу. Подставим \(x = 2 — y\) во второе уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной \(y\).

Подстановка даёт:
\(3(2 — y) — 2y — 11 = 0\).
Раскрываем скобки:
\(6 — 3y — 2y — 11 = 0\).
Объединяем подобные члены:
\(6 — 5y — 11 = 0\), что эквивалентно
\(-5y — 5 = 0\).
Переносим свободный член вправо:
\(-5y = 5\).
Делим обе части на \(-5\):
\(y = -1\).

Теперь подставим найденное значение \(y\) в первое уравнение:
\(x = 2 — (-1) = 2 + 1 = 3\).
Ответ для системы:
\((3; -1)\).