ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1087 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)  \(\begin{cases} 2u + 5v = 0, \\ -8u + 15v = 7; \end{cases}\)

б)  \(\begin{cases} 5p — 3q = 0, \\ 3p + 4q = 29; \end{cases}\)

в)  \(\begin{cases} 4u + 3v = 14, \\ 5u — 3v = 25; \end{cases}\)

г)  \(\begin{cases} 10p + 7q = -2, \\ 2p — 22 = 5q. \end{cases}\)

а) Из первой системы выразили \( u = -\frac{5v}{2} \), подставили во второе уравнение:
\(-8 \cdot \left(-\frac{5}{2} v\right) + 15v = 7\),
получили \(20v + 15v = 7\),
суммировали: \(35v = 7\),
решили: \(v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}\),
подставили в выражение для \(u\):
\(u = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{2}\).
Ответ: \(v = \frac{1}{5}, u = -\frac{1}{2}\).

б) Из первой системы выразили \(p = \frac{3}{5} q\), подставили во второе уравнение:
\(3 \cdot \frac{3}{5} q + 4q = 29\),
получили \(\frac{9}{5} q + 4q = 29\),
привели к общему знаменателю: \(\frac{9}{5} q + \frac{20}{5} q = 29\),
суммировали: \(\frac{29}{5} q = 29\),
решили: \(q = 29 \cdot \frac{5}{29} = 5\),
подставили в выражение для \(p\):
\(p = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\).
Ответ: \(q = 5, p = 3\).

в) Из первой системы выразили \(u = \frac{14 — 3v}{4}\), подставили во второе уравнение:
\(5 \cdot \frac{14 — 3v}{4} — 3v = 25\),
умножили на 4:
\(5(14 — 3v) — 12v = 100\),
раскрыли скобки:
\(70 — 15v — 12v = 100\),
суммировали:
\(-27v = 30\),
решили:
\(v = -\frac{30}{27} = -\frac{10}{9}\),
подставили в выражение для \(u\):
\(u = \frac{14 — 3 \cdot \left(-\frac{10}{9}\right)}{4} = \frac{14 + \frac{30}{9}}{4} = \frac{\frac{126}{9} + \frac{30}{9}}{4} = \frac{156}{9 \cdot 4} = \frac{156}{36} = \frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3}\).
Ответ: \(v = -\frac{10}{9}, u = 4 \frac{1}{3}\).

г) Из первой системы выразили \(p = \frac{-2 — 7q}{10}\), подставили во второе уравнение:
\(2 \cdot \frac{-2 — 7q}{10} — 22 = 5q\),
умножили на 10:
\(2(-2 — 7q) — 220 = 50q\),
раскрыли скобки:
\(-4 — 14q — 220 = 50q\),
перенесли все на одну сторону:
\(-14q — 50q = 224\),
суммировали:
\(-64q = 224\),
решили:
\(q = -\frac{224}{64} = -3.5\),
подставили в выражение для \(p\):
\(p = \frac{-2 — 7 \cdot (-3.5)}{10} = \frac{-2 + 24.5}{10} = \frac{22.5}{10} = 2.25\).
Ответ: \(q = -3.5, p = 2.25\).

а) В данной системе уравнений сначала выразили одну переменную через другую, чтобы упростить решение. Из первого уравнения \(2u + 5v = 0\) выразили \(u\) через \(v\), получив \(u = -\frac{5v}{2}\). Это позволяет заменить переменную \(u\) во втором уравнении, чтобы работать только с одной переменной. Подставляя \(u\) во второе уравнение \(-8u + 15v = 7\), получили выражение \(-8 \cdot \left(-\frac{5v}{2}\right) + 15v = 7\). Раскрывая скобки, получили \(20v + 15v = 7\), что упрощается до \(35v = 7\). Решая это уравнение, нашли \(v = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}\).

Теперь, зная значение \(v\), подставили его обратно в выражение для \(u\): \(u = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{2}\). Таким образом, получили точное значение обеих переменных: \(v = \frac{1}{5}\) и \(u = -\frac{1}{2}\). Этот метод замены переменной удобен, когда одно из уравнений легко выразить через другую переменную, а затем подставить в другое уравнение, сводя систему к одному уравнению с одной переменной.

б) В этой системе из первого уравнения \(5p — 3q = 0\) выразили \(p\) через \(q\), получив \(p = \frac{3}{5} q\). Подставили это выражение во второе уравнение \(3p + 4q = 29\), что дало уравнение с одной переменной: \(3 \cdot \frac{3}{5} q + 4q = 29\). Привели к общему знаменателю и сложили коэффициенты при \(q\), получив \(\frac{9}{5} q + 4q = 29\) или \(\frac{9}{5} q + \frac{20}{5} q = 29\). Сложив дроби, получили \(\frac{29}{5} q = 29\). Решая это уравнение, нашли \(q = 29 \cdot \frac{5}{29} = 5\).

Подставив найденное значение \(q\) в выражение для \(p\), вычислили \(p = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\). Такой способ решения позволяет свести систему к одному уравнению с одной переменной, что значительно упрощает процесс нахождения решения. Выражение одной переменной через другую — классический прием при решении систем линейных уравнений.

в) В этом примере из первого уравнения \(4u + 3v = 14\) выразили \(u\), получив \(u = \frac{14 — 3v}{4}\). Подставили это выражение во второе уравнение \(5u — 3v = 25\), что дало уравнение \(5 \cdot \frac{14 — 3v}{4} — 3v = 25\). Чтобы избавиться от дроби, умножили всё уравнение на 4: \(5 (14 — 3v) — 12v = 100\). Раскрыли скобки: \(70 — 15v — 12v = 100\), что упростилось до \(70 — 27v = 100\).

Перенеся 70 в правую часть, получили \(-27v = 30\), откуда \(v = -\frac{30}{27} = -\frac{10}{9}\). Подставили значение \(v\) обратно в выражение для \(u\), вычислив \(u = \frac{14 — 3 \cdot \left(-\frac{10}{9}\right)}{4} = \frac{14 + \frac{30}{9}}{4} = \frac{\frac{126}{9} + \frac{30}{9}}{4} = \frac{156}{36} = \frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3}\). Таким образом, нашли точные значения обеих переменных.

г) В этой системе из первого уравнения \(10p + 7q = -2\) выразили \(p\) через \(q\), получив \(p = \frac{-2 — 7q}{10}\). Подставили это выражение во второе уравнение \(2p — 22 = 5q\), что дало уравнение с одной переменной: \(2 \cdot \frac{-2 — 7q}{10} — 22 = 5q\). Умножили всё уравнение на 10 для устранения знаменателя: \(2(-2 — 7q) — 220 = 50q\). Раскрыли скобки: \(-4 — 14q — 220 = 50q\), что упростилось до \(-224 — 14q = 50q\).

Перенеся все члены с \(q\) в одну сторону, получили \(-14q — 50q = 224\), то есть \(-64q = 224\). Решая уравнение, нашли \(q = -\frac{224}{64} = -3.5\). Подставили значение \(q\) в выражение для \(p\), вычислив \(p = \frac{-2 — 7 \cdot (-3.5)}{10} = \frac{-2 + 24.5}{10} = \frac{22.5}{10} = 2.25\). Таким образом, нашли точные значения обеих переменных, используя метод подстановки и упрощения уравнений с дробями.