ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1094 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases}\frac{y}{4} — \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0;\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \\ \frac{x}{10} — \frac{2y}{3} = 1,2;\end{cases}\)
в) \(\begin{cases}\frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2, \\ \frac{3x}{2} — y = 6;\end{cases}\)
г) \(\begin{cases}\frac{3x}{5} — 2y = 5, \\ x — \frac{3y}{2} = 6,5.\end{cases}\)

а) Система:
\(\frac{y}{4} — \frac{x}{5} = 6\),
\(\frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0\).

Умножаем первое уравнение на 20, второе на 60:
\(5y — 4x = 120\),
\(4x + 5y = 0\).

Складываем:
\(5y — 4x = 120\),
\(4x + 5y = 0\).

Отсюда:
\(y = 0.8x + 24\),
\(4x + 5(0.8x + 24) = 0\),
\(4x + 4x + 120 = 0\),
\(8x = -120\),
\(x = -15\),
\(y = 0.8 \cdot (-15) + 24 = 12\).

Ответ: \(x = -15\), \(y = 12\).

б) Система:
\(\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2.3\),
\(\frac{x}{10} — \frac{2y}{3} = 1.2\).

Умножаем первое уравнение на 15, второе на 30:
\(18x + y = 34.5\),
\(3x — 20y = 36\).

Подставляем \(y = 34.5 — 18x\) во второе:
\(3x — 20(34.5 — 18x) = 36\),
\(3x — 690 + 360x = 36\),
\(363x = 726\),
\(x = 2\),
\(y = 34.5 — 18 \cdot 2 = -1.5\).

Ответ: \(x = 2\), \(y = -1.5\).

в) Система:
\(\frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2\),
\(\frac{3x}{2} — y = 6\).

Умножаем первое уравнение на 6, второе на 2:
\(3x — 2y = 12\),
\(3x — 2y = 12\).

Уравнения равны, значит система имеет бесконечное множество решений.

г) Система:
\(\frac{3x}{5} — 2y = 5\),
\(\frac{x}{2} — \frac{3y}{2} = 6.5\).

Умножаем первое уравнение на 5, второе на 2:
\(3x — 10y = 25\),
\(2x — 3y = 13\).

Подставляем \(y = 0.3x — 2.5\) во второе:
\(2x — 3(0.3x — 2.5) = 13\),
\(2x — 0.9x + 7.5 = 13\),
\(1.1x = 5.5\),
\(x = 5\),
\(y = 0.3 \cdot 5 — 2.5 = -1\).

Ответ: \(x = 5\), \(y = -1\).

а) Сначала у нас есть система уравнений с дробями: \(\frac{y}{4} — \frac{x}{5} = 6\) и \(\frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0\). Чтобы упростить работу с этими уравнениями, умножаем первое на 20, а второе на 60, чтобы избавиться от знаменателей. Получаем: \(5y — 4x = 120\) и \(4x + 5y = 0\). Теперь у нас линейная система с целыми коэффициентами, что облегчает дальнейшее решение.

Далее складываем уравнения, чтобы исключить одну из переменных. Складывая, видим, что \(5y — 4x + 4x + 5y = 120 + 0\), то есть \(10y = 120\), откуда \(y = 12\). Подставляем это значение в любое из уравнений, например, \(4x + 5 \cdot 12 = 0\), получаем \(4x + 60 = 0\), откуда \(4x = -60\), и \(x = -15\). Таким образом, нашли \(x = -15\) и \(y = 12\).

Проверка решения показывает, что оно удовлетворяет исходным уравнениям. Значения \(x\) и \(y\) подставляются обратно в исходные дробные уравнения, и обе равенства становятся верными, что подтверждает правильность решения.

б) Исходная система: \(\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2.3\) и \(\frac{x}{10} — \frac{2y}{3} = 1.2\). Для удобства умножаем первое уравнение на 15, второе на 30, чтобы избавиться от дробей. Получаем: \(18x + y = 34.5\) и \(3x — 20y = 36\). Теперь имеем систему с целыми коэффициентами, которую проще решать.

Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = 34.5 — 18x\). Подставляем это во второе уравнение: \(3x — 20(34.5 — 18x) = 36\). Раскрываем скобки: \(3x — 690 + 360x = 36\), объединяем похожие члены: \(363x — 690 = 36\), переносим свободный член: \(363x = 726\), делим на 363 и получаем \(x = 2\). Подставляем обратно в выражение для \(y\): \(y = 34.5 — 18 \cdot 2 = 34.5 — 36 = -1.5\).

Решение проверяется подстановкой в исходные уравнения, что подтверждает правильность найденных значений \(x\) и \(y\).

в) Дана система: \(\frac{x}{2} — \frac{y}{3} = 2\) и \(\frac{3x}{2} — y = 6\). Умножаем первое уравнение на 6, второе на 2, чтобы избавиться от дробей: \(3x — 2y = 12\) и \(3x — 2y = 12\). Видно, что уравнения совпадают, то есть фактически одно и то же.

Это означает, что система не ограничивает значения \(x\) и \(y\) однозначно, а имеет бесконечное множество решений, так как второе уравнение не добавляет новой информации. Для любых \(x\) и \(y\), удовлетворяющих \(3x — 2y = 12\), система будет выполнена.

г) Рассматриваем систему: \(\frac{3x}{5} — 2y = 5\) и \(\frac{x}{2} — \frac{3y}{2} = 6.5\). Умножаем первое уравнение на 5, второе на 2, чтобы избавиться от дробей: \(3x — 10y = 25\) и \(2x — 3y = 13\). Теперь имеем систему с целыми коэффициентами.

Выражаем \(y\) из первого уравнения: \(y = \frac{3x — 25}{10}\). Подставляем во второе уравнение: \(2x — 3 \cdot \frac{3x — 25}{10} = 13\). Приводим к общему знаменателю: \(2x — \frac{9x — 75}{10} = 13\). Умножаем на 10: \(20x — (9x — 75) = 130\), раскрываем скобки: \(20x — 9x + 75 = 130\), объединяем: \(11x + 75 = 130\), переносим 75: \(11x = 55\), делим: \(x = 5\).

Подставляем в выражение для \(y\): \(y = \frac{3 \cdot 5 — 25}{10} = \frac{15 — 25}{10} = \frac{-10}{10} = -1\). Проверка подстановкой в исходные уравнения подтверждает правильность решения.