ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1097 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой \(y = x^2 — 4x + 5\), расположены в верхней полуплоскости.

\( y = x^2 — 4x + 5 = x^2 — 4x + 4 + 1 = (x — 2)^2 + 1 \geq 1, \)

так как \( (x — 2)^2 \geq 0 \), но есть ещё \( +1 \), то график расположен в верхней полуплоскости, что и требовалось доказать.

\( y = x^2 — 4x + 5 \) можно преобразовать в более удобную для анализа форму, выделив полный квадрат. Для этого к выражению добавим и вычтем число 4, чтобы получилось \( x^2 — 4x + 4 + 1 \). Такое преобразование возможно, потому что \( 4 — 4 = 0 \), и значение функции не изменится. Теперь выражение принимает вид \( (x — 2)^2 + 1 \), где \( (x — 2)^2 \) — полный квадрат разности, а \( +1 \) — константа.

Выделение полного квадрата позволяет легко понять поведение функции \( y \). Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть \( (x — 2)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), минимум функции достигается при \( x = 2 \), где \( (x — 2)^2 = 0 \). Следовательно, минимальное значение функции равно \( 1 \), так как к нулю прибавляется единица. Значит, \( y \geq 1 \) для всех \( x \).

Это неравенство означает, что график функции расположен полностью выше или на линии \( y = 1 \), то есть в верхней полуплоскости относительно этой линии. График не пересекает ось \( x \), так как \( y \) никогда не становится равным нулю или отрицательным числом. Таким образом, преобразование и анализ функции через выделение полного квадрата доказывают, что график расположен в верхней полуплоскости, что и требовалось показать.