ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1099 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:

a) \(\begin{cases} x — 6y = 17, \\ 5x + 6y = 13; \end{cases}\)

б) \(\begin{cases} 4x — 7y = -12, \\ -4x + 3y = 12; \end{cases}\)

в) \(\begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ -5x + 2y = 45; \end{cases}\)

г) \(\begin{cases} 9x — 4y = -13, \\ 9x — 2y = -20. \end{cases}\)

а) Решаем систему:
\( x — 6y = 17 \)
\( 5x + 6y = 13 \)

Складываем уравнения:
\( (x — 6y) + (5x + 6y) = 17 + 13 \)
\( 6x = 30 \)
\( x = 5 \)

Подставляем в первое уравнение:
\( 5 — 6y = 17 \)
\( -6y = 12 \)
\( y = -2 \)

Ответ: \( x = 5, y = -2 \).

б) Решаем систему:
\( 4x — 7y = -12 \)
\( -4x + 3y = 12 \)

Складываем уравнения:
\( (4x — 7y) + (-4x + 3y) = -12 + 12 \)
\( -4y = 0 \)
\( y = 0 \)

Подставляем во второе уравнение:
\( 4x — 7 \cdot 0 = -12 \)
\( 4x = -12 \)
\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3, y = 0 \).

в) Решаем систему:
\( 3x + 2y = 5 \)
\( -5x + 2y = 45 \)

Вычитаем первое из второго:
\( (-5x + 2y) — (3x + 2y) = 45 — 5 \)
\( -8x = 40 \)
\( x = -5 \)

Подставляем в первое уравнение:
\( 3(-5) + 2y = 5 \)
\( -15 + 2y = 5 \)
\( 2y = 20 \)
\( y = 10 \)

Ответ: \( x = -5, y = 10 \).

г) Решаем систему:
\( 9x — 4y = -13 \)
\( 9x — 2y = -20 \)

Вычитаем первое из второго:
\( (9x — 2y) — (9x — 4y) = -20 — (-13) \)
\( 2y = -7 \)
\( y = -\frac{7}{2} = -3.5 \)

Подставляем в первое уравнение:
\( 9x — 4(-3.5) = -13 \)
\( 9x + 14 = -13 \)
\( 9x = -27 \)
\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3, y = -3.5 \).

а) Для решения системы уравнений \(x — 6y = 17\) и \(5x + 6y = 13\) сначала сложим эти уравнения. При сложении левых частей уравнений выражения с \(y\) взаимно уничтожаются, так как \( -6y + 6y = 0\). Сложение правых частей даст \(17 + 13 = 30\). Таким образом, получаем уравнение \(x + 5x = 6x = 30\), откуда \(x = \frac{30}{6} = 5\). Это позволяет найти значение \(x\) напрямую без дополнительного преобразования.

Подставляем найденное значение \(x = 5\) в первое уравнение: \(5 — 6y = 17\). Вычитаем 5 из обеих частей, получаем \(-6y = 12\). Делим обе части на \(-6\), получаем \(y = \frac{12}{-6} = -2\). Таким образом, решение системы — \(x = 5\), \(y = -2\). Этот способ решения называется методом сложения, так как мы исключили одну переменную сложением уравнений.

б) Рассмотрим систему уравнений \(4x — 7y = -12\) и \(-4x + 3y = 12\). Складываем уравнения для исключения \(x\): \(4x + (-4x) = 0\), а левая часть уравнений по \(y\) становится \(-7y + 3y = -4y\). Правая часть равна \(-12 + 12 = 0\). Получаем уравнение \(-4y = 0\), откуда \(y = 0\).

Подставляем \(y = 0\) во второе уравнение: \(-4x + 3 \cdot 0 = 12\), упрощаем до \(-4x = 12\). Делим обе части на \(-4\), получаем \(x = \frac{12}{-4} = -3\). Решение системы: \(x = -3\), \(y = 0\). Здесь также использован метод сложения, который позволяет быстро избавиться от одной переменной и найти значения обеих.

в) Имеется система уравнений \(3x + 2y = 5\) и \(-5x + 2y = 45\). Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \(y\): \((-5x + 2y) — (3x + 2y) = -5x — 3x + 2y — 2y = -8x\). Правая часть равна \(45 — 5 = 40\). Получаем уравнение \(-8x = 40\), откуда \(x = \frac{40}{-8} = -5\).

Подставляем \(x = -5\) в первое уравнение: \(3 \cdot (-5) + 2y = 5\), что даёт \(-15 + 2y = 5\). Прибавляем 15 к обеим частям: \(2y = 20\), делим на 2, получаем \(y = 10\). Решение: \(x = -5\), \(y = 10\). Метод вычитания позволяет исключить переменную, чтобы упростить систему.

г) Рассматриваем систему \(9x — 4y = -13\) и \(9x — 2y = -20\). Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \(x\): \((9x — 2y) — (9x — 4y) = 9x — 9x — 2y + 4y = 2y\). Правая часть равна \(-20 — (-13) = -20 + 13 = -7\). Получаем уравнение \(2y = -7\), откуда \(y = \frac{-7}{2} = -3,5\).

Подставляем \(y = -3,5\) в первое уравнение: \(9x — 4 \cdot (-3,5) = -13\), что даёт \(9x + 14 = -13\). Вычитаем 14 из обеих частей: \(9x = -27\), делим на 9, получаем \(x = \frac{-27}{9} = -3\). Решение системы: \(x = -3\), \(y = -3,5\). Такой подход позволяет последовательно найти значения переменных.