ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1108 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} 5(x + 2y) — 3 = x + 5, \\ y + 4(x — 3y) = 50; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 2{,}5(x — 3y) — 3 = -3x + 0{,}5, \\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases}\)

а) Система:
\( \begin{cases}
5(x + 2y) — 3 = x + 5 \\
y + 4(x — 3y) = 50
\end{cases} \)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\( \begin{cases}
5x + 10y — 3 = x + 5 \\
y + 4x — 12y = 50
\end{cases} \)
Переносим все в левую часть:
\( \begin{cases}
5x — x + 10y = 5 + 3 \\
4x + y — 12y = 50
\end{cases} \)
Итог:
\( \begin{cases}
4x + 10y = 8 \\
4x — 11y = 50
\end{cases} \)
Вычитаем уравнения:
\( (4x + 10y) — (4x — 11y) = 8 — 50 \Rightarrow 21y = -42 \Rightarrow y = -2 \)
Подставляем в первое уравнение:
\( 4x + 10(-2) = 8 \Rightarrow 4x — 20 = 8 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7 \)

Ответ: \( x = 7, y = -2 \)

б) Система:
\( \begin{cases}
2.5(x — 3y) — 3 = -3x + 0.5 \\
3(x + 6y) + 4 = 9y + 19
\end{cases} \)
Раскрываем скобки и приводим подобные:
\( \begin{cases}
2.5x — 7.5y — 3 = -3x + 0.5 \\
3x + 18y + 4 = 9y + 19
\end{cases} \)
Переносим все в левую часть:
\( \begin{cases}
2.5x + 3x — 7.5y = 0.5 + 3 \\
3x + 18y — 9y = 19 — 4
\end{cases} \)
Упрощаем:
\( \begin{cases}
5.5x — 7.5y = 3.5 \\
3x + 9y = 15
\end{cases} \)
Домножаем первое уравнение на 6, второе на 11:
\( \begin{cases}
33x — 45y = 21 \\
33x + 99y = 165
\end{cases} \)
Вычитаем первое из второго:
\( 33x + 99y — (33x — 45y) = 165 — 21 \Rightarrow 144y = 144 \Rightarrow y = 1 \)
Подставляем в первое уравнение:
\( 33x — 45(1) = 21 \Rightarrow 33x = 21 + 45 \Rightarrow 33x = 66 \Rightarrow x = 2 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \)

а) Начинаем с исходной системы уравнений: \(5(x + 2y) — 3 = x + 5\) и \(y + 4(x — 3y) = 50\). Первым делом раскрываем скобки в обоих уравнениях, чтобы избавиться от них и получить уравнения в более простом виде. В первом уравнении раскрываем скобки: \(5x + 10y — 3 = x + 5\). Во втором уравнении раскрываем скобки: \(y + 4x — 12y = 50\). Таким образом, система принимает вид: \(5x + 10y — 3 = x + 5\) и \(y + 4x — 12y = 50\).

Далее переносим все слагаемые в левую часть уравнений, чтобы привести их к стандартному виду. В первом уравнении переносим \(x\) и \(5\) вправо: \(5x — x + 10y = 5 + 3\), что упрощается до \(4x + 10y = 8\). Во втором уравнении приводим подобные: \(y — 12y + 4x = 50\), что упрощается до \(4x — 11y = 50\). Теперь у нас получилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными: \(4x + 10y = 8\) и \(4x — 11y = 50\).

Для решения системы вычитаем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную \(x\): \((4x + 10y) — (4x — 11y) = 8 — 50\). Это даёт \(21y = -42\), откуда \(y = -2\). Подставляем найденное \(y\) в первое уравнение: \(4x + 10(-2) = 8\), что даёт \(4x — 20 = 8\) и далее \(4x = 28\). Отсюда \(x = 7\).

б) Исходная система уравнений: \(2.5(x — 3y) — 3 = -3x + 0.5\) и \(3(x + 6y) + 4 = 9y + 19\). Начинаем с раскрытия скобок. В первом уравнении раскрываем: \(2.5x — 7.5y — 3 = -3x + 0.5\). Во втором уравнении раскрываем скобки: \(3x + 18y + 4 = 9y + 19\).

Переносим все слагаемые в левую часть уравнений для приведения к общему виду. В первом уравнении переносим \(-3x\) и \(0.5\) вправо: \(2.5x + 3x — 7.5y = 0.5 + 3\), что упрощается до \(5.5x — 7.5y = 3.5\). Во втором уравнении переносим \(9y\) и \(19\) вправо: \(3x + 18y — 9y = 19 — 4\), что упрощается до \(3x + 9y = 15\).

Далее умножаем первое уравнение на 6, а второе на 11, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми, что позволит исключить \(x\) при вычитании. Получаем: \(33x — 45y = 21\) и \(33x + 99y = 165\). Вычитаем первое уравнение из второго: \(33x + 99y — (33x — 45y) = 165 — 21\), что даёт \(144y = 144\), а значит \(y = 1\). Подставляем \(y = 1\) в первое уравнение: \(33x — 45(1) = 21\), откуда \(33x = 21 + 45 = 66\), и \(x = 2\).