ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1109 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:
а) \(\begin{cases} 3x + \frac{7}{9} — 2 = 0, \\ 5x — y = 11; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} 5m — 6n = 0, \\ 5m — 4n = 2; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 0{,}5x + 0{,}2y = 7, \\ 3x — by = 0; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} \frac{1}{6}u — \frac{1}{3}v = -3, \\ 0{,}2u + 0{,}1v = 3{,}9. \end{cases}\)

а) Умножаем первое уравнение на 12: \( \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y — 2 = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 24 \). Второе уравнение: \( 5x — y = 11 \). Умножаем второе уравнение на 3: \( 15x — 3y = 33 \). Складываем: \( 4x + 3y = 24 \) и \( 15x — 3y = 33 \) дают \( 19x = 57 \), откуда \( x = 3 \). Подставляем в \( 4x + 3y = 24 \), получаем \( 12 + 3y = 24 \Rightarrow y = 4 \).

б) Умножаем первое уравнение на 20: \( 0.5x + 0.2y = 7 \Rightarrow 10x + 4y = 140 \). Второе уравнение умножаем на 30: \( \frac{1}{3}x — \frac{1}{10}y = 0 \Rightarrow 10x — 3y = 0 \). Вычитаем второе из первого: \( 7y = 140 \Rightarrow y = 20 \). Подставляем в \( 10x — 3y = 0 \), получаем \( 10x = 60 \Rightarrow x = 6 \).

в) Умножаем первое уравнение на 30: \( \frac{1}{5}m — \frac{1}{6}n = 0 \Rightarrow 6m — 5n = 0 \). Второе уравнение умножаем на 5: \( 5m — 4n = 2 \Rightarrow 25m — 20n = 10 \). Умножаем первое уравнение на 4: \( 24m — 20n = 0 \). Вычитаем: \( (25m — 20n) — (24m — 20n) = 10 — 0 \Rightarrow m = 10 \). Подставляем в \( 6m — 5n = 0 \), получаем \( 60 — 5n = 0 \Rightarrow n = 12 \).

г) Умножаем первое уравнение на 6: \( \frac{1}{2}u — \frac{1}{3}v = -3 \Rightarrow u — 2v = -18 \). Второе уравнение умножаем на 5: \( 0.2u + 0.1v = 3.9 \Rightarrow u + 0.5v = 19.5 \). Вычитаем первое из второго: \( -2.5v = -37.5 \Rightarrow v = 15 \). Подставляем в \( u — 2v = -18 \), получаем \( u — 30 = -18 \Rightarrow u = 12 \).

Ответ: а) \( x = 3, y = 4 \), б) \( x = 6, y = 20 \), в) \( n = 12, m = 10 \), г) \( v = 15, u = 12 \).

а) Для начала рассмотрим систему уравнений:
\( \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y — 2 = 0 \) и \( 5x — y = 11 \). Чтобы избавиться от дробей в первом уравнении, умножаем его на 12, так как 12 — это наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4. После умножения получаем:
\( 12 \cdot \frac{1}{3}x + 12 \cdot \frac{1}{4}y — 12 \cdot 2 = 0 \), что упрощается до \( 4x + 3y = 24 \). Второе уравнение оставляем без изменений: \( 5x — y = 11 \). Для удобства умножаем второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( y \) стали сопоставимы:
\( 15x — 3y = 33 \).

Теперь складываем два уравнения:
\( 4x + 3y = 24 \)
\( 15x — 3y = 33 \)
При сложении \( 3y \) и \( -3y \) взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение с одной переменной:
\( 19x = 57 \). Делим обе части на 19:
\( x = 3 \). Подставляем найденное значение \( x \) в первое преобразованное уравнение:
\( 4 \cdot 3 + 3y = 24 \), откуда \( 12 + 3y = 24 \), значит \( 3y = 12 \), и, следовательно, \( y = 4 \).

б) Дана система уравнений:
\( 0,5x + 0,2y = 7 \) и \( \frac{1}{3}x — \frac{1}{10}y = 0 \). Чтобы избавиться от десятичных дробей в первом уравнении, умножаем его на 20:
\( 20 \cdot 0,5x + 20 \cdot 0,2y = 20 \cdot 7 \), что даёт \( 10x + 4y = 140 \). Второе уравнение умножаем на 30, чтобы убрать дроби:
\( 30 \cdot \frac{1}{3}x — 30 \cdot \frac{1}{10}y = 30 \cdot 0 \), упрощая получаем \( 10x — 3y = 0 \).

Из второго уравнения выражаем \( y \):
\( 10x = 3y \), значит \( y = \frac{10x}{3} \). Подставляем это значение в первое уравнение:
\( 10x + 4 \cdot \frac{10x}{3} = 140 \), что равно \( 10x + \frac{40x}{3} = 140 \). Приводим к общему знаменателю и складываем:
\( \frac{30x}{3} + \frac{40x}{3} = \frac{70x}{3} = 140 \). Умножаем обе части на 3:
\( 70x = 420 \), делим на 70:
\( x = 6 \). Подставляем обратно для нахождения \( y \):
\( y = \frac{10 \cdot 6}{3} = 20 \).

в) Рассматриваем систему:
\( \frac{1}{5}m — \frac{1}{6}n = 0 \) и \( 5m — 4n = 2 \). Для удобства умножаем первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное 5 и 6), чтобы избавиться от дробей:
\( 30 \cdot \frac{1}{5}m — 30 \cdot \frac{1}{6}n = 30 \cdot 0 \), что даёт \( 6m — 5n = 0 \). Второе уравнение умножаем на 5, чтобы коэффициенты были сопоставимы:
\( 25m — 20n = 10 \). Теперь умножаем первое уравнение на 4:
\( 24m — 20n = 0 \).

Вычитаем из второго уравнения первое:
\( (25m — 20n) — (24m — 20n) = 10 — 0 \), что даёт \( m = 10 \). Подставляем найденное \( m \) в первое преобразованное уравнение:
\( 6 \cdot 10 — 5n = 0 \), откуда \( 60 = 5n \), значит \( n = 12 \).

г) Система уравнений:
\( \frac{1}{2}u — \frac{1}{3}v = -3 \) и \( 0,2u + 0,1v = 3,9 \). Умножаем первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:
\( 6 \cdot \frac{1}{2}u — 6 \cdot \frac{1}{3}v = 6 \cdot (-3) \), что даёт \( 3u — 2v = -18 \). Второе уравнение умножаем на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей:
\( 5 \cdot 0,2u + 5 \cdot 0,1v = 5 \cdot 3,9 \), что даёт \( u + 0,5v = 19,5 \).

Чтобы решить систему, выразим из второго уравнения \( u \):
\( u = 19,5 — 0,5v \). Подставим это в первое уравнение:
\( 3(19,5 — 0,5v) — 2v = -18 \), раскрываем скобки:
\( 58,5 — 1,5v — 2v = -18 \), приводим подобные члены:
\( 58,5 — 3,5v = -18 \), переносим 58,5 вправо:
\( -3,5v = -18 — 58,5 = -76,5 \), делим на -3,5:
\( v = 15 \). Подставляем \( v \) в выражение для \( u \):
\( u = 19,5 — 0,5 \cdot 15 = 19,5 — 7,5 = 12 \).