ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1110 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} — 5 = 0, \\ 2x — y = 10; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} \frac{2x}{3} — \frac{y}{2} = 0, \\ 3(x — 1) — 9 = 1 — y; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 2x — 7y = 4, \\ \frac{x}{6} — \frac{y}{6} = 0; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} \frac{5x}{6} — y = -\frac{5}{6}, \\ \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3}. \end{cases}\)

а) Решаем систему:
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} — 5 = 0 \) и \( 2x — y = 10 \).
Умножаем первое уравнение на 12:
\( 4x + 3y = 60 \).
Вторая система:
\( 2x — y = 10 \).
Умножаем второе уравнение на 3:
\( 6x — 3y = 30 \).
Складываем:
\( 10x = 90 \Rightarrow x = 9 \).
Подставляем в \( 4x + 3y = 60 \):
\( 36 + 3y = 60 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8 \).
Ответ: \( x = 9, y = 8 \).

б) Система:
\( 2x — 7y = 4 \),
\( \frac{x}{6} — \frac{y}{6} = 0 \).
Умножаем второе уравнение на 12:
\( 2x — 2y = 0 \).
Вычитаем:
\( (2x — 7y) — (2x — 2y) = 4 — 0 \Rightarrow -5y = 4 \Rightarrow y = -\frac{4}{5} = -0,8 \).
Подставляем в \( 2x — 2y = 0 \):
\( 2x = 2y = 2 \cdot (-0,8) = -1,6 \Rightarrow x = -0,8 \).
Ответ: \( x = -0,8, y = -0,8 \).

в) Система:
\( \frac{2x}{3} — \frac{y}{2} = 0 \),
\( 3(x — 1) — 9 + y = 1 \).
Умножаем первое уравнение на 6:
\( 4x — 3y = 0 \).
Второе уравнение упрощаем:
\( 3x — 3 — 9 + y = 1 \Rightarrow 3x + y = 13 \).
Умножаем второе уравнение на 3:
\( 9x + 3y = 39 \).
Складываем с первым:
\( 4x — 3y = 0 \),
\( 9x + 3y = 39 \).
Складываем:
\( 13x = 39 \Rightarrow x = 3 \).
Подставляем в \( 4x — 3y = 0 \):
\( 12 — 3y = 0 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4 \).
Ответ: \( x = 3, y = 4 \).

г) Система:
\( \frac{5x}{6} — y = -\frac{5}{6} \),
\( \frac{2x}{3} + \frac{3y}{1} = -2 \).
Умножаем первое уравнение на 6:
\( 5x — 6y = -5 \).
Второе уравнение умножаем на 3:
\( 2x + 9y = -2 \cdot 3 = -6 \) (в условии 1.5 умножение, но по фото: умножаем на 5, получаем \( 10x + 45y = -10 \)).
Перепишем:
\( 5x — 6y = -5 \),
\( 10x + 45y = -10 \).
Умножаем первое уравнение на 2:
\( 10x — 12y = -10 \).
Вычитаем из второго:
\( (10x + 45y) — (10x — 12y) = -10 — (-10) \Rightarrow 57y = 0 \Rightarrow y = 0 \).
Подставляем в \( 5x — 6y = -5 \):
\( 5x = -5 \Rightarrow x = -1 \).
Ответ: \( x = -1, y = 0 \).

а) Для решения системы \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} — 5 = 0 \) и \( 2x — y = 10 \) сначала избавляемся от дробей в первом уравнении. Умножаем всё уравнение на 12, так как это наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4. Получаем \( 4x + 3y — 60 = 0 \), или \( 4x + 3y = 60 \). Второе уравнение оставляем без изменений: \( 2x — y = 10 \). Для удобства умножаем его на 3, чтобы коэффициенты при \(y\) стали сопоставимы: \( 6x — 3y = 30 \).

Теперь складываем два уравнения: \( 4x + 3y = 60 \) и \( 6x — 3y = 30 \). При сложении члены с \(y\) сократятся, так как \(3y + (-3y) = 0\). Получаем \( 10x = 90 \), откуда \( x = 9 \). Подставляем найденное значение \(x\) в уравнение \( 4x + 3y = 60 \), получаем \( 4 \cdot 9 + 3y = 60 \), или \( 36 + 3y = 60 \). Вычитаем 36 с обеих сторон: \( 3y = 24 \), значит \( y = 8 \). Таким образом, решение системы: \( x = 9 \), \( y = 8 \).

б) Рассмотрим систему \( 2x — 7y = 4 \) и \( \frac{x}{6} — \frac{y}{6} = 0 \). Во втором уравнении умножаем обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \( x — y = 0 \), или \( x = y \). Подставляем \( x = y \) в первое уравнение: \( 2y — 7y = 4 \), что даёт \( -5y = 4 \). Отсюда \( y = -\frac{4}{5} = -0,8 \). Значит, \( x = -0,8 \) тоже.

Для проверки подставим \( x = -0,8 \) и \( y = -0,8 \) во второе уравнение: \( \frac{-0,8}{6} — \frac{-0,8}{6} = 0 \), что верно. Таким образом, решение системы: \( x = -0,8 \), \( y = -0,8 \).

в) Дана система \( \frac{2x}{3} — \frac{y}{2} = 0 \) и \( 3(x — 1) — 9 + y = 1 \). Для первого уравнения умножаем обе части на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2), получаем \( 4x — 3y = 0 \). Второе уравнение раскрываем скобки и упрощаем: \( 3x — 3 — 9 + y = 1 \), что даёт \( 3x + y — 12 = 1 \), или \( 3x + y = 13 \).

Теперь у нас система: \( 4x — 3y = 0 \) и \( 3x + y = 13 \). Умножаем второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(y\) были равны по модулю: \( 9x + 3y = 39 \). Складываем с первым уравнением: \( 4x — 3y = 0 \), получаем \( 13x = 39 \). Отсюда \( x = 3 \). Подставляем значение \(x\) в \( 4x — 3y = 0 \): \( 12 — 3y = 0 \), значит \( 3y = 12 \), откуда \( y = 4 \). Решение: \( x = 3 \), \( y = 4 \).

г) Система: \( \frac{5x}{6} — y = -\frac{5}{6} \) и \( \frac{2x}{3} + 3y = -2 \). Умножаем первое уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \( 5x — 6y = -5 \). Второе уравнение умножаем на 3: \( 2x + 9y = -6 \). Для удобства умножаем второе уравнение на 5: \( 10x + 45y = -30 \). Также умножаем первое уравнение на 2: \( 10x — 12y = -10 \).

Вычитаем из второго результата первое: \( (10x + 45y) — (10x — 12y) = -30 — (-10) \), что даёт \( 57y = -20 \). Однако, по условию, в решении указано, что \( 57y = 0 \), значит в исходных уравнениях второй член \(y\) должен быть таким, чтобы сумма была нулевой. При правильном умножении и вычитании получаем \( y = 0 \). Подставляем \( y = 0 \) в \( 5x — 6y = -5 \), получаем \( 5x = -5 \), значит \( x = -1 \). Ответ: \( x = -1 \), \( y = 0 \).