Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1112 Макарычев — Подробные Ответы
Имеет ли решение система уравнений и сколько:
а) \(\begin{cases}
2x — y = 1, \\
-6x + 3y = 2;
\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}
-5x + 2y = 7, \\
15x — 6y = -21.
\end{cases}\)
a) Система:
\( \begin{cases} 2x — y = 1 \\ -6x + 3y = 2 \end{cases} \)
Приводим второе уравнение к виду:
\(-6x + 3y = 2 \Rightarrow 3y = 6x + 2 \Rightarrow y = 2x + \frac{2}{3}\)
Первое уравнение: \(y = 2x — 1\)
Второе уравнение: \(y = 2x + \frac{2}{3}\)
Коэффициенты при \(x\) и \(y\) одинаковы, но свободные члены разные, значит прямые параллельны и пересечения нет, система решений не имеет.
б) Система:
\( \begin{cases} -5x + 2y = 7 \\ 15x — 6y = -21 \end{cases} \)
Домножаем первое уравнение на 3:
\(-15x + 6y = 21\)
Второе уравнение: \(15x — 6y = -21\)
При сложении получаем:
\(0 = 0\), уравнения зависимы.
Приводим к виду:
\(2y = 5x + 7 \Rightarrow y = 2.5x + 3.5\)
\(6y = 15x + 21 \Rightarrow y = 2.5x + 3.5\)
Уравнения одинаковы, значит система имеет бесконечное множество решений.
а) Рассмотрим систему уравнений \( \begin{cases} 2x — y = 1 \\ -6x + 3y = 2 \end{cases} \). Для удобства преобразуем второе уравнение. Домножим первое уравнение на 3: \( 3(2x — y) = 3 \cdot 1 \), что даст \( 6x — 3y = 3 \). Теперь сравним с исходным вторым уравнением: \( -6x + 3y = 2 \). Если сложить эти два уравнения, получим \( 0 = 5 \), что невозможно. Это показывает, что данные уравнения несовместимы.
Перепишем уравнения в явном виде для \(y\): из первого уравнения \( y = 2x — 1 \), из второго — \( 3y = 6x + 2 \Rightarrow y = 2x + \frac{2}{3} \). Коэффициенты при \(x\) в обоих уравнениях одинаковы и равны 2, однако свободные члены различны: \(-1\) и \(\frac{2}{3}\). Это означает, что графики уравнений — прямые с одинаковым наклоном, но разными пересечениями с осью \(y\). Такие прямые параллельны и не пересекаются.
Поскольку графики не пересекаются, система не имеет ни одного общего решения. Графически это иллюстрируется отсутствием точки пересечения двух прямых. Следовательно, система уравнений не имеет решений, что и подтверждается алгебраическим анализом.
б) Дана система \( \begin{cases} -5x + 2y = 7 \\ 15x — 6y = -21 \end{cases} \). Домножим первое уравнение на 3, чтобы сравнить с вторым: \( 3(-5x + 2y) = 3 \cdot 7 \), что даёт \( -15x + 6y = 21 \). Второе уравнение записано как \( 15x — 6y = -21 \). Если сложить эти два уравнения, получаем \( 0 = 0 \), что является тождеством и говорит о зависимости уравнений.
Перепишем уравнения в удобной форме для \(y\): из первого \( 2y = 5x + 7 \Rightarrow y = 2.5x + 3.5 \), из второго \( 6y = 15x + 21 \Rightarrow y = 2.5x + 3.5 \). Видно, что оба уравнения совпадают, то есть задают одну и ту же прямую.
Так как уравнения совпадают, графики совпадают полностью, и система имеет бесконечное множество решений — все точки этой прямой. Это значит, что каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот, что и подтверждает бесконечность решений системы.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!