ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1113 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(15a^2 — 15b^2\);
б) \(29a^2 + 29b^2 + 58ab\);
в) \(10a^3 + 10b^3\);
г) \(18a^3 — 18b^3\);
д) \(47a^6 — 47b^6\);
е) \(51a^6 + 51b^6\).

а) \( 15a^2 — 15b^2 = 15(a^2 — b^2) = 15(a — b)(a + b) \)

б) \( 29a^2 + 29b^2 + 58ab = 29(a^2 + 2ab + b^2) = 29(a + b)^2 = 29(a + b)(a + b) \)

в) \( 10a^3 + 10b^3 = 10(a^3 + b^3) = 10(a + b)(a^2 — ab + b^2) \)

г) \( 18a^3 — 18b^3 = 18(a^3 — b^3) = 18(a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

д) \( 47a^6 — 47b^6 = 47(a^6 — b^6) = 47(a^3 — b^3)(a^3 + b^3) =\) \(= 47(a — b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 — ab + b^2) \)

е) \( 51a^6 + 51b^6 = 51(a^6 + b^6) = 51(a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4) \)

а) В данном выражении \(15a^2 — 15b^2\) сначала выносим общий множитель 15 за скобки, так как он присутствует в обоих слагаемых. Получаем \(15(a^2 — b^2)\). Далее заметим, что внутри скобок стоит разность квадратов, которая раскладывается по формуле \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Применяя эту формулу к \(a^2 — b^2\), получаем разложение на множители \( (a — b)(a + b) \). Таким образом, итоговое выражение принимает вид \(15(a — b)(a + b)\).

б) В выражении \(29a^2 + 29b^2 + 58ab\) сначала выделяем общий множитель 29, так как он есть в каждом слагаемом. После вынесения получаем \(29(a^2 + b^2 + 2ab)\). Внутри скобок находится выражение, которое можно представить как квадрат суммы двух переменных, поскольку \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\). Поэтому выражение упрощается до \(29(a + b)^2\). Для более развернутой записи можно представить это как \(29(a + b)(a + b)\).

в) В выражении \(10a^3 + 10b^3\) сначала выносим множитель 10 за скобки, что даёт \(10(a^3 + b^3)\). Сумма кубов раскладывается по формуле \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Применяя эту формулу к \(a^3 + b^3\), получаем \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Итоговое разложение принимает вид \(10(a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

г) В выражении \(18a^3 — 18b^3\) также сначала выносим общий множитель 18, получая \(18(a^3 — b^3)\). Разность кубов раскладывается по формуле \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\). Применяя её к \(a^3 — b^3\), получаем разложение \( (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Таким образом, итоговое выражение будет \(18(a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

д) В выражении \(47a^6 — 47b^6\) сначала выделяем общий множитель 47, получая \(47(a^6 — b^6)\). Разность шестых степеней можно представить как разность кубов: \(a^6 = (a^3)^2\), поэтому \(a^6 — b^6 = (a^3)^2 — (b^3)^2\). Это разность квадратов, которая раскладывается как \( (a^3 — b^3)(a^3 + b^3) \). Далее каждый из этих множителей раскладывается по формуле для разности и суммы кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\) и \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). В итоге получаем полное разложение \(47(a — b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

е) В выражении \(51a^6 + 51b^6\) сначала выносим множитель 51, получая \(51(a^6 + b^6)\). Сумма шестых степеней не раскладывается на простые множители так же просто, как разность, но её можно представить как произведение двух выражений: \(a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4)\). Это разложение основано на формуле для суммы степеней, где второй множитель является квадратом без смешанных членов. Следовательно, итоговое выражение записывается как \(51(a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4)\).