ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1179 Макарычев — Подробные Ответы

Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

а) \(\begin{cases} 2x + 5y = 17, \\ 4x — 10y = 45; \end{cases}\)

б) \(\begin{cases} \frac{x}{5} — \frac{y}{15} = 1, \\ 6x — 2y = 35; \end{cases}\)

в) \(\begin{cases} 0{,}2x — 5y = 11, \\ -x + 25y = -55; \end{cases}\)

г) \(\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10, \\ 9x — 2y = 1? \end{cases}\)

а) \( \begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x — 10y = 45 \end{cases} \) преобразуется в \( \begin{cases} 5y = 17 — 2x \\ 10y = 4x — 45 \end{cases} \), далее в \( \begin{cases} y = 3,4 — 0,4x \\ y = 0,4x — 4,5 \end{cases} \) — угловые коэффициенты различны, значит система уравнений имеет единственное решение.

б) \( \begin{cases} \frac{x}{5} — \frac{y}{15} = 1 \\ 6x — 2y = 35 \end{cases} \) умножаем на 15, получаем \( \begin{cases} 3x — y = 15 \\ 6x — 2y = 35 \end{cases} \), далее \( \begin{cases} y = 3x — 15 \\ y = 3x — 17,5 \end{cases} \) — угловые коэффициенты одинаковые, а точки пересечения графиков с осью \(y\) различны, значит система уравнений решений не имеет.

в) \( \begin{cases} 0,2x — 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases} \) преобразуется в \( \begin{cases} 5y = 0,2x — 11 \\ 25y = x — 55 \end{cases} \), далее \( \begin{cases} y = 0,04x — 2,2 \\ y = 0,04x — 2,2 \end{cases} \) — угловые коэффициенты одинаковые, и точки пересечения графиков с осью \(y\) совпадают, значит система уравнений имеет бесконечное множество решений.

г) \( \begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x — 2y = 1 \end{cases} \) умножаем на 3, получаем \( \begin{cases} 9x + y = 30 \\ 9x — 2y = 1 \end{cases} \), далее \( \begin{cases} y = 10 — 9x \\ y = 4,5x — 0,5 \end{cases} \) — угловые коэффициенты различны, значит система уравнений имеет единственное решение.

а) Рассмотрим систему уравнений \( \begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x — 10y = 45 \end{cases} \). Чтобы понять, сколько решений она имеет, преобразуем уравнения к виду, выражающему \(y\) через \(x\). Для первого уравнения выразим \(5y = 17 — 2x\), а для второго — \(10y = 4x — 45\). Деление второго уравнения на 2 даст \(5y = 0,4x — 4,5\). Таким образом, получаем систему \( \begin{cases} y = 3,4 — 0,4x \\ y = 0,4x — 4,5 \end{cases} \). Здесь видно, что коэффициенты при \(x\) (угловые коэффициенты) разные: в первом уравнении это \(-0,4\), во втором — \(0,4\). Различие угловых коэффициентов означает, что графики двух уравнений пересекаются в одной точке, следовательно, система имеет единственное решение.

Далее, если угловые коэффициенты были бы равны, нужно было бы проверить свободные члены. Но в данном случае они различны, что подтверждает единственность решения. Поэтому данная система уравнений является совместной и определённой, то есть имеет ровно одно решение.

б) Рассмотрим систему \( \begin{cases} \frac{x}{5} — \frac{y}{15} = 1 \\ 6x — 2y = 35 \end{cases} \). Умножим первое уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей: \(3x — y = 15\). Вторая строка остаётся без изменений: \(6x — 2y = 35\). У нас получается система \( \begin{cases} 3x — y = 15 \\ 6x — 2y = 35 \end{cases} \). Если умножить первое уравнение на 2, получим \(6x — 2y = 30\), что отличается от второго уравнения по свободному члену. Следовательно, угловые коэффициенты у обеих прямых одинаковы, но свободные члены разные. Это значит, что графики параллельны и не пересекаются, а значит система не имеет решений.

Таким образом, система является несовместной, так как прямые не пересекаются. Коэффициенты при \(x\) и \(y\) пропорциональны, но свободные члены не совпадают, что исключает возможность пересечения.

в) Дана система \( \begin{cases} 0,2x — 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases} \). Перепишем уравнения, выразив \(y\): из первого уравнения \(5y = 0,2x — 11\), из второго — \(25y = x — 55\). Делим второе уравнение на 5: \(5y = 0,2x — 11\), что совпадает с первым. Отсюда следует, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть угловые коэффициенты и свободные члены совпадают.

Это означает, что графики совпадают, и система имеет бесконечное множество решений, так как все точки на прямой удовлетворяют обоим уравнениям. При совпадении угловых коэффициентов и свободных членов система является зависимой.

г) Рассмотрим систему \( \begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x — 2y = 1 \end{cases} \). Умножим первое уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: \(9x + y = 30\). Теперь система выглядит так: \( \begin{cases} 9x + y = 30 \\ 9x — 2y = 1 \end{cases} \). Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 30 — 9x\), а из второго: \( -2y = 1 — 9x \implies y = \frac{9x — 1}{2} = 4,5x — 0,5\).

Коэффициенты при \(x\) в уравнениях для \(y\) разные: \( -9 \) в первом и \(4,5\) во втором. Это говорит о том, что графики прямых пересекаются в одной точке, следовательно, система имеет единственное решение.

Таким образом, угловые коэффициенты различны, что гарантирует пересечение графиков. Система является совместной и определённой, то есть имеет ровно одно решение.