ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1181 Макарычев — Подробные Ответы

Укажите какое-либо значение \( k \), при котором система
\(\begin{cases} 2x + y = 7, \\ y — kx = 3 \end{cases}\)
имеет единственное решение.

Система уравнений:
\( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ y — kx = 3 \end{cases} \)

Для единственного решения угловые коэффициенты должны быть различны:
\( \frac{2}{1} \neq \frac{-k}{1} \Rightarrow k \neq -2 \).

Подставим \( k = -2 \) во второе уравнение:
\( y + 2x = 3 \), тогда система станет несовместимой:
\( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \).

Значит, \( k \neq -2 \), ответ:
\( k = 2 \).

Рассмотрим систему уравнений \( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ y — kx = 3 \end{cases} \). Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимо, чтобы прямые, заданные этими уравнениями, не были параллельны. Параллельность определяется угловыми коэффициентами, то есть коэффициентами при \(x\) после приведения уравнений к виду \(y = mx + b\).

Первое уравнение можно переписать как \( y = -2x + 7 \), здесь угловой коэффициент равен \(-2\). Второе уравнение приведём к виду \( y = kx + 3 \), где угловой коэффициент равен \(k\). Для того чтобы линии не были параллельны, необходимо, чтобы \(k \neq -2\). Если \(k = -2\), то обе прямые имеют одинаковый наклон.

Если \(k = -2\), то система принимает вид \( \begin{cases} 2x + y = 7 \\ y + 2x = 3 \end{cases} \), что эквивалентно двум уравнениям с одинаковыми левой частями, но разными правыми частями. Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются, следовательно, решений у системы нет.

Таким образом, для существования единственного решения \(k\) не должен равняться \(-2\). В условии указано, что ответ \(k = 2\), что удовлетворяет этому требованию, так как \(2 \neq -2\), и система будет иметь единственное решение.