ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1187 Макарычев — Подробные Ответы

Найдите решение системы уравнений:
а) \((x — 1)^2 — (x + 2)^2 = 9y, \quad (y — 3)^2 — (y + 2)^2 = 5x;\)
б) \((7 + u)^2 — (5 + u)^2 = 6v, \quad (2 — v)^2 — (6 — v)^2 = 4u.\)

а) Раскроем скобки и упростим:
\((x-1)^2 — (x+2)^2 = 9y\)
\(x^2 — 2x + 1 — (x^2 + 4x + 4) = 9y\)
\(-6x — 3 = 9y\)
Аналогично для второго уравнения:
\((y-3)^2 — (y+2)^2 = 5x\)
\(y^2 — 6y + 9 — (y^2 + 4y + 4) = 5x\)
\(-10y + 5 = 5x\)

Перепишем систему:
\(-6x — 9y = 3\)
\(-10y — 5x = -5\)

Умножим второе уравнение на \(-1\):
\(-6x — 9y = 3\)
\(5x + 10y = 5\)

Решаем систему:
Из первого уравнения \(y = 3\). Подставляем во второе:
\(5x + 10 \cdot 3 = 5\)
\(5x + 30 = 5\)
\(5x = -25\)
\(x = -5\)

Ответ: \(x = -5, y = 3\).

б) Раскроем скобки:
\((7 + u)^2 — (5 + u)^2 = 6v\)
\(49 + 14u + u^2 — (25 + 10u + u^2) = 6v\)
\(24 + 4u = 6v\)

\((2 — v)^2 — (6 — v)^2 = 4u\)
\(4 — 4v + v^2 — (36 — 12v + v^2) = 4u\)
\(-32 + 8v = 4u\)

Перепишем систему:
\(6v — 4u = 24\)
\(8v — 4u = 32\)

Вычтем первое уравнение из второго:
\((8v — 4u) — (6v — 4u) = 32 — 24\)
\(2v = 8\)
\(v = 4\)

Подставим \(v=4\) в первое уравнение:
\(6 \cdot 4 — 4u = 24\)
\(24 — 4u = 24\)
\(-4u = 0\)
\(u = 0\)

Ответ: \(v = 4, u = 0\).

а) Сначала раскроем скобки в каждом уравнении, чтобы избавиться от квадратов и получить более простые выражения. В первом уравнении \( (x-1)^2 — (x+2)^2 = 9y \) раскрываем квадраты: \( (x-1)^2 = x^2 — 2x + 1 \), а \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \). Подставляя, получаем \( x^2 — 2x + 1 — (x^2 + 4x + 4) = 9y \). Упрощая левую часть, сокращаем \( x^2 \), получаем \( -2x + 1 — 4x — 4 = 9y \), что равно \( -6x — 3 = 9y \). Аналогично для второго уравнения \( (y-3)^2 — (y+2)^2 = 5x \), раскрываем квадраты: \( (y-3)^2 = y^2 — 6y + 9 \), \( (y+2)^2 = y^2 + 4y + 4 \). Подставляем и упрощаем: \( y^2 — 6y + 9 — (y^2 + 4y + 4) = 5x \), сокращая \( y^2 \), получаем \( -6y + 9 — 4y — 4 = 5x \), что равно \( -10y + 5 = 5x \).

Далее перепишем систему уравнений в более удобном виде для решения: \( -6x — 9y = 3 \) (умножили первое уравнение на 1, чтобы привести к общему виду) и \( -10y — 5x = -5 \) (второе уравнение). Для удобства умножим второе уравнение на \(-1\), чтобы избавиться от минусов перед переменными: \( 5x + 10y = 5 \). Теперь у нас система: \( -6x — 9y = 3 \) и \( 5x + 10y = 5 \). Решим эту систему методом подстановки или сложения. Из первого уравнения выразим \( y \): \( -6x — 9y = 3 \Rightarrow -9y = 3 + 6x \Rightarrow y = \frac{-3 — 6x}{9} = \frac{-3}{9} — \frac{6x}{9} = -\frac{1}{3} — \frac{2x}{3} \). Подставим это выражение во второе уравнение: \( 5x + 10 \left( -\frac{1}{3} — \frac{2x}{3} \right) = 5 \). Раскрывая скобки, получаем \( 5x — \frac{10}{3} — \frac{20x}{3} = 5 \). Приведём к общему знаменателю и упростим: \( \frac{15x}{3} — \frac{10}{3} — \frac{20x}{3} = 5 \Rightarrow \frac{15x — 10 — 20x}{3} = 5 \Rightarrow \frac{-5x — 10}{3} = 5 \). Умножим обе части на 3: \( -5x — 10 = 15 \), откуда \( -5x = 25 \), и \( x = -5 \). Подставим \( x = -5 \) обратно в выражение для \( y \): \( y = -\frac{1}{3} — \frac{2 \cdot (-5)}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{10}{3} = \frac{9}{3} = 3 \).

Ответ: \( x = -5, y = 3 \).

б) Начинаем с раскрытия квадратов в уравнениях. В первом уравнении \( (7 + u)^2 — (5 + u)^2 = 6v \) раскрываем квадраты: \( (7 + u)^2 = 49 + 14u + u^2 \), \( (5 + u)^2 = 25 + 10u + u^2 \). Подставляем: \( 49 + 14u + u^2 — (25 + 10u + u^2) = 6v \). Упрощая, сокращаем \( u^2 \), получаем \( 49 + 14u — 25 — 10u = 6v \), то есть \( 24 + 4u = 6v \). Во втором уравнении \( (2 — v)^2 — (6 — v)^2 = 4u \) раскрываем квадраты: \( (2 — v)^2 = 4 — 4v + v^2 \), \( (6 — v)^2 = 36 — 12v + v^2 \). Подставляем: \( 4 — 4v + v^2 — (36 — 12v + v^2) = 4u \). Сокращая \( v^2 \), получаем \( 4 — 4v — 36 + 12v = 4u \), что равно \( -32 + 8v = 4u \).

Переписываем систему уравнений: \( 6v — 4u = 24 \) (перенесли все в левую часть) и \( 8v — 4u = 32 \). Для удобства вычтем первое уравнение из второго: \( (8v — 4u) — (6v — 4u) = 32 — 24 \), сокращая, получаем \( 2v = 8 \), откуда \( v = 4 \). Теперь подставим найденное значение \( v = 4 \) в первое уравнение: \( 6 \cdot 4 — 4u = 24 \), что даёт \( 24 — 4u = 24 \). Вычитаем 24 с обеих сторон: \( -4u = 0 \), откуда \( u = 0 \).

Ответ: \( v = 4, u = 0 \).