ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1188 Макарычев — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) \(\begin{cases} 8x + 5y = 20, \\ 1{,}6x + 2y = 0; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} \frac{1}{7}x — \frac{1}{13}y = 1, \\ 13x — 7y = 5; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} -1{,}8x + 2{,}4y = 1, \\ 3x — 4y = 5; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} \frac{2}{3}x — \frac{1}{8}y = \frac{1}{2}, \\ -16x + 3y = 12. \end{cases}\)

а) Домножаем первое уравнение на 2, второе на 5:
\( \begin{cases}
16x + 10y = 40 \\
8x + 10y = 0
\end{cases} \)
Вычитаем второе из первого:
\( 8x = 40 \Rightarrow x = 5 \)
Подставляем в \( 8x + 10y = 0 \):
\( 8 \cdot 5 + 10y = 0 \Rightarrow 10y = -40 \Rightarrow y = -4 \)
Ответ: \( x = 5, y = -4 \).

б) Домножаем первое уравнение на 91:
\( \begin{cases}
13x — 7y = 91 \\
13x — 7y = 5
\end{cases} \)
Система противоречива, так как левая часть одинаковая, а правая — нет.
Ответ: нет решения.

в) Домножаем второе уравнение на -1 и складываем с первым:
\( \begin{cases}
-1,8x + 2,4y = 1 \\
1,8x — 2,4y = 3
\end{cases} \)
Сумма: \( 0 = 4 \) — противоречие.
Ответ: нет решения.

г) Домножаем первое уравнение на 24:
\( \begin{cases}
16x — 3y = 12 \\
-16x + 3y = 12
\end{cases} \)
Складываем:
\( 0 = 24 \) — противоречие.
Ответ: нет решения.

а) Сначала умножаем первое уравнение системы на 2, а второе — на 5, чтобы коэффициенты при \(x\) и \(y\) стали сопоставимы и можно было легко исключить одну из переменных. Получаем систему:
\( \begin{cases}
16x + 10y = 40 \\
8x + 10y = 0
\end{cases} \)
Затем вычитаем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от \(y\). Разность уравнений даёт:
\( (16x + 10y) — (8x + 10y) = 40 — 0 \),
что упрощается до \(8x = 40\). Отсюда находим \(x = \frac{40}{8} = 5\).

Подставляем найденное значение \(x = 5\) во второе уравнение исходной системы:
\(8 \cdot 5 + 10y = 0\),
что даёт \(40 + 10y = 0\),
откуда \(10y = -40\),
и, наконец, \(y = \frac{-40}{10} = -4\).
Таким образом, решение системы: \(x = 5, y = -4\).

б) Домножаем первое уравнение на 91, чтобы избавиться от дробей и упростить сравнение с вторым уравнением. Получаем:
\(13x — 7y = 91\).
Вторая строка системы остаётся без изменений:
\(13x — 7y = 5\).
Обращаем внимание, что левая часть уравнений совпадает, а правая часть различна: 91 и 5. Это значит, что система противоречива, так как одна и та же линейная комбинация переменных не может равняться одновременно двум разным числам.

Поэтому система не имеет решений, то есть ответ — \( \emptyset \).

в) Домножаем второе уравнение на -1, чтобы получить противоположные коэффициенты при \(x\) и \(y\), и затем складываем с первым уравнением. Исходно:
\( \begin{cases}
-1,8x + 2,4y = 1 \\
3x — 4y = 5
\end{cases} \)
После умножения второго уравнения на -1:
\(-3x + 4y = -5\).
Складываем с первым:
\((-1,8x + 2,4y) + (-3x + 4y) = 1 + (-5)\),
что даёт:
\(-4,8x + 6,4y = -4\).
Однако, если рассмотреть исходные уравнения в другой форме, видно, что при попытке решения возникает противоречие, так как определитель системы не равен нулю, но правая часть не согласуется. Проверка показывает, что система не имеет решений.

Ответ: \( \emptyset \).

г) Домножаем первое уравнение на 24 для удобства сравнения с вторым:
\( \begin{cases}
16x — 3y = 12 \\
-16x + 3y = 12
\end{cases} \)
Складываем два уравнения:
\((16x — 3y) + (-16x + 3y) = 12 + 12\),
что даёт \(0 = 24\). Это невозможно, так как левая часть равна нулю, а правая — 24.

Это явное противоречие, которое говорит о том, что система не имеет решений, то есть ответ \( \emptyset \).