ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1191 Макарычев — Подробные Ответы

Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:
а) \(A(1; 2)\) и \(B(-2; 3);\)
б) \(M(-5; 0)\) и \(K(2; -1).\)

а) Для точек \( A(1;2) \) и \( B(-2;3) \) уравнение прямой \( y = kx + b \).

Подставляем точки в уравнение:

\( \begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases} \)

Вычитаем первое уравнение из второго:

\( -2k + b — (k + b) = 3 — 2 \) значит \( -3k = 1 \), откуда \( k = -\frac{1}{3} \).

Подставляем \( k \) в первое уравнение:

\( -\frac{1}{3} + b = 2 \) значит \( b = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).

Уравнение прямой:

\( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \).

б) Для точек \( M(-5;0) \) и \( K(2;-1) \) уравнение прямой \( y = kx + b \).

Подставляем точки:

\( \begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases} \)

Вычитаем первое уравнение из второго:

\( 2k + b — (-5k + b) = -1 — 0 \) значит \( 7k = -1 \), откуда \( k = -\frac{1}{7} \).

Подставляем \( k \) в первое уравнение:

\( -5 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + b = 0 \) значит \( \frac{5}{7} + b = 0 \), откуда \( b = -\frac{5}{7} \).

Уравнение прямой:

\( y = -\frac{1}{7}x — \frac{5}{7} \).

а) Рассмотрим уравнение прямой в общем виде \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент, показывающий наклон линии, а \( b \) — свободный член, определяющий точку пересечения с осью \( y \). Нам даны две точки: \( A(1;2) \) и \( B(-2;3) \), через которые должна проходить прямая. Для нахождения коэффициентов \( k \) и \( b \) подставим координаты этих точек в уравнение прямой.

Подставляя точку \( A(1;2) \), получаем уравнение \( k \cdot 1 + b = 2 \), что упрощается до \( k + b = 2 \). Аналогично, подставляя точку \( B(-2;3) \), имеем \( k \cdot (-2) + b = 3 \), то есть \( -2k + b = 3 \). Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = 3 \end{cases} \).

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \( b \): \( (-2k + b) — (k + b) = 3 — 2 \). При этом \( b — b = 0 \), и остается \( -2k — k = -3k \), а справа \( 3 — 2 = 1 \). Следовательно, \( -3k = 1 \), откуда \( k = -\frac{1}{3} \).

Теперь, зная \( k \), подставим его обратно в первое уравнение: \( -\frac{1}{3} + b = 2 \). Чтобы найти \( b \), перенесём \( -\frac{1}{3} \) вправо: \( b = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \). Таким образом, коэффициенты \( k \) и \( b \) определены, и уравнение прямой принимает вид \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \).

б) Аналогично предыдущему примеру, у нас есть уравнение прямой \( y = kx + b \), и две точки \( M(-5;0) \) и \( K(2;-1) \), через которые она проходит. Подставим координаты точек в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений. Для точки \( M \) имеем \( k \cdot (-5) + b = 0 \), то есть \( -5k + b = 0 \). Для точки \( K \) — \( k \cdot 2 + b = -1 \), то есть \( 2k + b = -1 \).

Получается система:

\( \begin{cases} -5k + b = 0 \\ 2k + b = -1 \end{cases} \).

Вычитая первое уравнение из второго, избавляемся от \( b \): \( (2k + b) — (-5k + b) = -1 — 0 \). Слева \( b — b = 0 \), справа \( -1 \). Осталось \( 2k + 5k = 7k \), значит \( 7k = -1 \), откуда \( k = -\frac{1}{7} \).

Теперь подставим найденное \( k \) в первое уравнение: \( -5 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + b = 0 \). Умножаем: \( \frac{5}{7} + b = 0 \), значит \( b = -\frac{5}{7} \). Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид \( y = -\frac{1}{7}x — \frac{5}{7} \).

В обоих случаях мы использовали метод подстановки и вычитания для решения системы уравнений, что позволило последовательно найти сначала \( k \), а затем \( b \). Это классический способ нахождения уравнения прямой по двум точкам.