ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1197 Макарычев — Подробные Ответы

Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе — на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

Пусть первое число \( x \), а второе число \( y \). Их сумма равна \( x + y \).

Составим систему уравнений:
а) \((x + 0{,}3x) + (y — 0{,}1y) = 6 + (x + y)\)
б) \((x — 0{,}1x) + (y — 0{,}2y) = (x + y) — 16\)

Перепишем уравнения:
а) \(1{,}3x + 0{,}9y = 6 + x + y\)
б) \(0{,}9x + 0{,}8y = x + y — 16\)

Приведём к виду:
а) \(1{,}3x + 0{,}9y — x — y = 6\)
\(0{,}3x — 0{,}1y = 6\)

б) \(0{,}9x + 0{,}8y — x — y = -16\)
\(-0{,}1x — 0{,}2y = -16\)
\(0{,}1x + 0{,}2y = 16\)

Решаем систему:
Из первого уравнения:
\(0{,}3x — 0{,}1y = 6\)

Из второго:
\(0{,}1x + 0{,}2y = 16\)

Умножим второе уравнение на 3:
\(0{,}3x + 0{,}6y = 48\)

Вычтем первое уравнение из полученного:
\((0{,}3x + 0{,}6y) — (0{,}3x — 0{,}1y) = 48 — 6\)
\(0{,}7y = 42\)
\(y = \frac{42}{0{,}7} = 60\)

Подставим \( y = 60 \) в \(0{,}1x + 0{,}2y = 16\):
\(0{,}1x + 0{,}2 \cdot 60 = 16\)
\(0{,}1x + 12 = 16\)
\(0{,}1x = 4\)
\(x = 40\)

Ответ: \( x = 40 \), \( y = 60 \)

Пусть первое число равно \( x \), а второе число — \( y \). Из условия известно, что их сумма равна \( x + y \). Для решения задачи составим систему уравнений, исходя из данных преобразований выражений с числами \( x \) и \( y \).

Первое уравнение получается из выражения: \( (x + 0{,}3x) + (y — 0{,}1y) = 6 + (x + y) \). Раскроем скобки и упростим левую часть: \( x + 0{,}3x = 1{,}3x \), а \( y — 0{,}1y = 0{,}9y \). Тогда уравнение примет вид \( 1{,}3x + 0{,}9y = 6 + x + y \). Переносим все слагаемые на одну сторону, чтобы получить уравнение с нулём справа: \( 1{,}3x + 0{,}9y — x — y = 6 \). Приводим подобные члены: \( (1{,}3x — x) + (0{,}9y — y) = 6 \), что равно \( 0{,}3x — 0{,}1y = 6 \).

Второе уравнение формируется по условию \( (x — 0{,}1x) + (y — 0{,}2y) = (x + y) — 16 \). Аналогично раскрываем скобки: \( x — 0{,}1x = 0{,}9x \), \( y — 0{,}2y = 0{,}8y \). Тогда уравнение становится \( 0{,}9x + 0{,}8y = x + y — 16 \). Переносим все члены в левую часть: \( 0{,}9x + 0{,}8y — x — y = -16 \). Приводим подобные: \( (0{,}9x — x) + (0{,}8y — y) = -16 \), что равно \( -0{,}1x — 0{,}2y = -16 \). Умножаем это уравнение на \(-1\), чтобы избавиться от минусов: \( 0{,}1x + 0{,}2y = 16 \).

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
\( 0{,}3x — 0{,}1y = 6 \)
\( 0{,}1x + 0{,}2y = 16 \)

Для решения системы выразим переменную \( x \) из второго уравнения или подготовим уравнения к сложению. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( x \) в обоих уравнениях совпали:
\( 3 \cdot (0{,}1x + 0{,}2y) = 3 \cdot 16 \)
\( 0{,}3x + 0{,}6y = 48 \)

Теперь вычтем первое уравнение из полученного:
\( (0{,}3x + 0{,}6y) — (0{,}3x — 0{,}1y) = 48 — 6 \)
\( 0{,}3x — 0{,}3x + 0{,}6y + 0{,}1y = 42 \)
\( 0{,}7y = 42 \)

Делим обе части уравнения на \( 0{,}7 \), чтобы найти \( y \):
\( y = \frac{42}{0{,}7} = 60 \)

Подставим найденное значение \( y = 60 \) во второе уравнение системы:
\( 0{,}1x + 0{,}2 \cdot 60 = 16 \)
\( 0{,}1x + 12 = 16 \)

Вычислим \( 0{,}1x \):
\( 0{,}1x = 16 — 12 = 4 \)

Найдём \( x \), разделив обе части на \( 0{,}1 \):
\( x = \frac{4}{0{,}1} = 40 \)

Ответ: первое число равно \( 40 \), второе число равно \( 60 \).