Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1206 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что сумма \(1^3 + 2^3 + \ldots + 99^3\) делится на 100.
\( 1^3 + 2^3 + \cdots + 99^3 = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \cdots +\) \(+ (49^3 + 51^3) + 50^3 = \)
\( = (1 + 99)(1^2 — 1 \cdot 99 + 99^2) + (2 + 98)(2^2 — 2 \cdot 98 +\) \(+ 98^2) + \cdots + (49 + 51)(49^2 — 49 \cdot 51 + 51^2) + 50^3 = \)
\( = 100 \cdot (1^2 — 1 \cdot 99 + 99^2) + 100 \cdot (2^2 — 2 \cdot 98 +\) \(+ 98^2) + \cdots + 100 \cdot (49^2 — 49 \cdot 51 + 51^2) + 125000 = \)
\( = 100 \cdot (1^2 — 1 \cdot 99 + 99^2 + \cdots + 49^2 — 49 \cdot 51 +\) \(+ 51^2 + 1250) \)
так как 100 делится на 100, то и все число делится на 100.
Сумма кубов чисел от 1 до 99 записывается как \(1^3 + 2^3 + \cdots + 99^3\). Для упрощения выражения мы группируем слагаемые по парам, где каждое слагаемое из начала ряда складываем с соответствующим с конца: \( (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \cdots + (49^3 + 51^3) + 50^3 \). Это позволяет использовать формулу суммы кубов двух чисел \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), что значительно упрощает вычисления. В каждой паре сумма основана на том, что \(a + b = 100\), так как, например, \(1 + 99 = 100\), \(2 + 98 = 100\) и так далее.
Далее каждую пару можно представить в виде произведения: \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) = 100 \cdot (a^2 — ab + b^2) \). Таким образом, сумма всех пар сводится к сумме множителей \(a^2 — ab + b^2\), умноженной на 100. В итоге получается выражение вида \(100 \cdot \left(1^2 — 1 \cdot 99 + 99^2 + 2^2 — 2 \cdot 98 + 98^2 + \cdots + 49^2 — 49 \cdot 51 + 51^2\right) + 50^3\). Последнее слагаемое \(50^3\) равно 125000 и также делится на 100, что позволяет включить его в общий множитель.
Поскольку все члены суммы, кроме \(50^3\), имеют общий множитель 100, а \(50^3 = 125000\) также делится на 100, вся сумма делится на 100. Это означает, что сумма кубов чисел от 1 до 99 кратна 100, и итоговое выражение можно записать как \(100\) умноженное на сумму квадратов и произведений, что подтверждает делимость всей суммы на 100.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!