ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1211 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Пусть искомое число \( n \), частное от деления — \( m \), тогда остаток \( c \).
Получим: \( n = 30m + c, \quad c < 30 \). \( n = 30m + c = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot m + c \). Остаток не может быть чётным числом, иначе \( n \) будет чётным, что противоречит условию. Если \( c \) кратно 3, то \( c = 3a \). Тогда \( n = 30m + 3a = 3 \cdot (10m + a) \). Если \( n \) составное число, то остаток не может быть кратен 3. Если \( c \) кратно 5, то \( c = 5a \). Тогда \( n = 30m + 5a = 5 \cdot (6m + a) \). Если \( n \) составное число, то остаток не может быть кратен 5. Тогда \( c = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \). Значит, остаток от деления простого числа на 30 будет простое число или 1.

Пусть искомое число обозначим как \( n \), при делении на 30 оно даёт частное \( m \) и остаток \( c \). Тогда по определению деления с остатком можно записать равенство \( n = 30m + c \), где \( c < 30 \). Это означает, что \( n \) можно представить как сумму произведения 30 на некоторое целое число \( m \) и остатка \( c \). Поскольку 30 раскладывается на простые множители как \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \), то \( n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot m + c \). Это разложение очень важно для анализа кратности \( n \) и его остатка при делении на 30. Остаток \( c \) не может быть чётным числом, потому что если бы \( c \) было чётным, то \( n \), как сумма чётного числа \( 30m \) и чётного остатка \( c \), тоже было бы чётным. Но по условию \( n \) — простое число, а все чётные числа, кроме 2, являются составными. Так как 2 не делится на 30 с остатком, равным чётному числу, это исключает возможность чётного остатка. Следовательно, \( c \) должно быть нечётным. Если остаток \( c \) делится на 3, то его можно представить в виде \( c = 3a \) для некоторого целого \( a \). Тогда \( n = 30m + 3a = 3(10m + a) \), то есть \( n \) делится на 3. Если \( n \) при этом не равно 3, то \( n \) будет составным числом, что противоречит условию простоты. Значит, остаток не может быть кратен 3. Аналогично, если \( c \) делится на 5, то \( c = 5a \), и \( n = 30m + 5a = 5(6m + a) \), что делает \( n \) кратным 5. Если \( n \neq 5 \), то \( n \) будет составным. Следовательно, остаток не может быть кратен 5. Таким образом, возможные значения остатка \( c \) — это числа, не делящиеся на 2, 3 и 5, и меньше 30. К таким числам относятся 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Эти числа либо простые, либо равны 1. Поэтому можно сделать вывод, что остаток от деления простого числа на 30 всегда либо равен 1, либо является простым числом, не делящимся на 2, 3 и 5.