ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1222 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте выражение \(2x^2 + 2y^2\) в виде суммы двух квадратов.

\(2x^2 + 2y^2 = x^2 + x^2 + y^2 + y^2 — 2xy + 2xy = (x^2 — 2xy + y^2) +\) \(+ (x^2 + 2xy + y^2) = (x — y)^2 + (x + y)^2.\)

\(2x^2 + 2y^2\) можно переписать, разложив каждое слагаемое на сумму одинаковых частей: \(x^2 + x^2 + y^2 + y^2\). Это равенство основано на свойстве сложения, которое позволяет переставлять и группировать слагаемые. Далее к этому выражению добавим и вычтем одинаковые члены, чтобы получить удобные для преобразования выражения. В частности, мы добавляем и вычитаем \(2xy\), что не меняет значения, но позволяет сгруппировать слагаемые в квадраты бинома.

Далее выражение преобразуем следующим образом: \(x^2 + x^2 + y^2 + y^2 — 2xy + 2xy\). Здесь мы сгруппировали слагаемые так, чтобы выделить два квадрата: \(x^2 — 2xy + y^2\) и \(x^2 + 2xy + y^2\). Эти выражения распознаются как квадраты разности и суммы двух переменных, соответственно. То есть, \(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2\), а \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\).

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы двух квадратов: \((x — y)^2 + (x + y)^2\). Это разложение удобно для дальнейших преобразований и упрощений, так как квадраты бинома имеют четкую структуру и легко поддаются анализу. Такой подход часто используется в алгебре для упрощения выражений и решения уравнений.