Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1224 Макарычев — Подробные Ответы
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^8 + x^1 — 2\);
б) \(a^5 — a^2 — a — 1\);
в) \(n^4 + 4\);
г) \(n^4 + n^2 + 1\).
a) \(x^8 + x^4 — 2 = x^8 + x^4 — 1 — 1 = (x^8 — 1) + (x^4 — 1) =\) \(= (x^4 — 1)(x^4 + 1) + (x^2 — 1)(x^2 + 1) = (x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) +\) \(+ (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1) = (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) +\) \(+ (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1) =\) \(= (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1 + 1) =\) \(= (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)\)
б) \(a^5 — a^2 — a — 1 = (a^5 — a) — (a^2 + 1) = a(a^4 — 1) — (a^2 + 1) =\) \(= a(a^2 — 1)(a^2 + 1) — (a^2 + 1) = (a^2 + 1)(a(a^2 — 1) — 1) =\) \(= (a^2 + 1)(a^3 — a — 1)\)
в) \(n^4 + 4 = n^4 + 4 — 4n^2 + 4n^2 = (n^4 + 2n^2 + 4) — 4n^2 =\) \(= (n^2 + 2)^2 — (2n)^2 = (n^2 + 2 — 2n)(n^2 + 2 + 2n) =\) \(= (n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\)
г) \(n^4 + n^2 + 1 = n^4 + n^2 + 1 + n^2 — n^2 = (n^4 + 2n^2 + 1) — n^2 =\) \(= (n^2 + 1)^2 — n^2 = (n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\)
а) Начинаем с выражения \(x^8 + x^4 — 2\). Перепишем его как \(x^8 + x^4 — 1 — 1\), чтобы выделить две части: \(x^8 — 1\) и \(x^4 — 1\). Эти выражения удобно разложить по формуле разности квадратов, так как \(x^8 — 1 = (x^4 — 1)(x^4 + 1)\) и \(x^4 — 1 = (x^2 — 1)(x^2 + 1)\). Далее раскладываем \(x^2 — 1\) как \((x — 1)(x + 1)\). Таким образом, исходное выражение можно представить как сумму двух произведений: \((x^4 — 1)(x^4 + 1) + (x^2 — 1)(x^2 + 1)\), что равно \((x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) + (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)\).
Теперь группируем общие множители: в обеих частях есть \((x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)\), поэтому можно вынести их за скобки. Получается \((x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1 + 1)\). Суммируем внутри скобок \(x^4 + 1 + 1 = x^4 + 2\). В итоге получаем факторизацию \( (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2) \).
б) Рассмотрим выражение \(a^5 — a^2 — a — 1\). Разделим его на две части: \((a^5 — a)\) и \(-(a^2 + 1)\). В первой части вынесем \(a\) за скобки: \(a(a^4 — 1)\). Вторую часть оставим без изменений. Теперь раскладываем \(a^4 — 1\) как разность квадратов: \((a^2 — 1)(a^2 + 1)\). Таким образом, выражение примет вид \(a(a^2 — 1)(a^2 + 1) — (a^2 + 1)\).
Обратим внимание, что в обоих слагаемых есть множитель \((a^2 + 1)\), который можно вынести за скобки. Получаем \((a^2 + 1)(a(a^2 — 1) — 1)\). Внутри скобок раскрываем \(a(a^2 — 1) = a^3 — a\), поэтому выражение становится \((a^2 + 1)(a^3 — a — 1)\).
в) Выражение \(n^4 + 4\) преобразуем, добавив и вычтя \(4n^2\): \(n^4 + 4 — 4n^2 + 4n^2\). Группируем как \((n^4 + 2n^2 + 4) — 4n^2\). Первое слагаемое представляет собой полный квадрат \( (n^2 + 2)^2 \), а второе — квадрат \( (2n)^2 \). Значит, имеем разность квадратов: \((n^2 + 2)^2 — (2n)^2\).
Разность квадратов раскладывается как произведение \((n^2 + 2 — 2n)(n^2 + 2 + 2n)\). Приводим к виду \((n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\), выделяя из каждого выражения по \(1\) и \(n\). Таким образом, исходное выражение факторизовано как произведение двух двучленов.
г) Рассмотрим \(n^4 + n^2 + 1\). Добавляем и вычитаем \(n^2\), чтобы получить полный квадрат: \(n^4 + n^2 + 1 + n^2 — n^2\). Группируем как \((n^4 + 2n^2 + 1) — n^2\). Первое слагаемое — полный квадрат \((n^2 + 1)^2\), второе — квадрат \(n^2\).
Получаем разность квадратов: \((n^2 + 1)^2 — n^2\). Раскладываем по формуле разности квадратов: \((n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\). Таким образом, исходное выражение представлено в виде произведения двух двучленов, что завершает факторизацию.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!