ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1225 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что \(p^2 — 1\) кратно 24, если \(p\) — простое число, большее 3.

\(p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1)\)

Получилось три последовательных числа: \(p — 1, p, p + 1\). Так как числа последовательны, то одно из них делится на 2, а другое на 3. Если \(p\) простое число, то два других кратны 2 и 3, а их произведение кратно 6.

По условию, число \(p\) больше 3 — оно нечетное, значит два других числа кратны 2, а их произведение кратно 4.

Так как произведение кратно 6 и 4, значит \(p^2 — 1\) кратно 24.

\(p^2 — 1\) можно представить в виде произведения двух выражений: \((p — 1)(p + 1)\). Это происходит благодаря формуле разности квадратов, которая утверждает, что разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел. В данном случае числами являются \(p\) и 1, поэтому \(p^2 — 1 = (p — 1)(p + 1)\). Таким образом, мы получили три последовательных числа: \(p — 1\), \(p\) и \(p + 1\).

Поскольку эти числа идут подряд, среди них обязательно найдется число, делящееся на 2, то есть четное, так как среди любых трёх последовательных чисел ровно одно чётное. Кроме того, одно из чисел обязательно делится на 3, потому что числа, делящиеся на 3, повторяются с периодом 3. Если \(p\) — простое число, то оно не делится ни на 2, ни на 3, поскольку простое число больше 3 не может быть четным или кратным 3. Следовательно, два других числа из тройки будут кратны 2 и 3 соответственно. Их произведение, следовательно, кратно 6, поскольку произведение чисел, кратных 2 и 3, делится на 6.

По условию, \(p\) — простое число, большее 3, значит \(p\) нечетное. Тогда два других числа — \(p — 1\) и \(p + 1\) — являются четными и следовательно кратны 2. Поскольку это два соседних четных числа, одно из них кратно 4, а другое кратно 2, значит их произведение кратно 8. Но учитывая, что среди них есть число, кратное 3, произведение \((p — 1)(p + 1)\) кратно и 3, и 8, то есть кратно \(3 \times 8 = 24\). Таким образом, \(p^2 — 1\) делится на 24, то есть кратно 24.