ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1226 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Пусть первое число \(a\), тогда второе число \(a + 1\).

\((a+1)^3 — a^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 — a^3 = 3a^2 + 3a + 1 = 3(a^2 + a) + 1\).

Пусть \(a\) — чётное число, тогда \(a^2 + a\) — чётное. Если \(a\) — нечётное число, то \(a^2 + a\) — тоже чётное.

\(a^2 + a\) кратно 2, тогда \(3(a^2 + a)\) кратно 6.

Значит, \(3(a^2 + a) + 1\) при делении на 6 даст остаток 1.

Пусть первое число равно \(a\), тогда второе число будет равно \(a + 1\). Рассмотрим разность кубов этих чисел: \((a + 1)^3 — a^3\). Раскроем скобки и упростим выражение. По формуле куба суммы имеем \((a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1\). Вычитаем из этого \(a^3\), получаем: \(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 — a^3 = 3a^2 + 3a + 1\). Вынесем общий множитель 3 из первых двух слагаемых: \(3a^2 + 3a = 3(a^2 + a)\). Тогда выражение принимает вид \(3(a^2 + a) + 1\).

Далее нужно понять, как ведёт себя выражение \(a^2 + a\) в зависимости от чётности числа \(a\). Если \(a\) — чётное число, то \(a^2\) также чётно, так как произведение чётного числа на само себя остаётся чётным. Сумма двух чётных чисел \(a^2\) и \(a\) (поскольку \(a\) чётно) даёт чётное число. Если же \(a\) — нечётное число, то \(a^2\) остаётся нечётным (нечётное число в квадрате — нечётно), а \(a\) нечётно. Сумма двух нечётных чисел — чётное число. Таким образом, независимо от того, чётное или нечётное \(a\), сумма \(a^2 + a\) всегда чётна.

Поскольку \(a^2 + a\) чётно и кратно 2, умножение этого выражения на 3 даёт число, кратное 6, то есть \(3(a^2 + a)\) делится на 6 без остатка. Следовательно, выражение \(3(a^2 + a) + 1\) при делении на 6 даст остаток 1, так как к числу, кратному 6, прибавляется 1. Это и есть искомый результат.