Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1227 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Пусть \(a — 2\) — первое число, \(a — 1\) — второе число, \(a\) — третье число, \(a + 1\) — четвёртое число, \(a + 2\) — пятое число.
\((a — 2)^2 + (a — 1)^2 + a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 = a^2 — 4a + 4 +\) \(+ a^2 — 2a + 1 + a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 = 5a^2 + 10 = 5 (a^2 + 2)\).
Если \(a^2 + 2\) кратно 5, то выражение будет квадратом натурального числа, значит, \(a^2 + 2 = 5\) или \(10\):
\(a^2 + 2 = 5\)
\(a^2 = 3\) — не подходит.
\(a^2 + 2 = 10\)
\(a^2 = 8\) — не подходит.
Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Пусть пять последовательных чисел заданы как \(a — 2\), \(a — 1\), \(a\), \(a + 1\), \(a + 2\), где \(a\) — некоторое целое число. Мы хотим найти сумму квадратов этих чисел и проверить, может ли эта сумма быть квадратом натурального числа. Для этого сначала вычислим сумму квадратов:
\((a — 2)^2 + (a — 1)^2 + a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2\).
Раскроем скобки и упростим выражение. Квадраты каждого слагаемого равны:
\((a — 2)^2 = a^2 — 4a + 4\),
\((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\),
\(a^2 = a^2\),
\((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\),
\((a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4\).
Сложим все вместе:
\(a^2 — 4a + 4 + a^2 — 2a + 1 + a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4\).
Теперь объединим подобные члены. Сложим все \(a^2\): их пять штук, значит \(5a^2\). Сложим все члены с \(a\): \(-4a — 2a + 2a + 4a = 0\). Сложим свободные числа: \(4 + 1 + 1 + 4 = 10\). Итоговое выражение:
\(5a^2 + 10\).
Далее перепишем сумму в виде:
\(5a^2 + 10 = 5(a^2 + 2)\).
Чтобы сумма была квадратом натурального числа, выражение \(5(a^2 + 2)\) должно само быть квадратом. Поскольку множитель 5 стоит вне скобок, для того чтобы произведение было квадратом, \(a^2 + 2\) должно быть кратно 5 и при этом \(a^2 + 2\) само должно быть квадратом (с учетом делимости на 5). Рассмотрим возможные значения \(a^2 + 2\) по модулю 5. Возможные квадраты по модулю 5 — это 0, 1, 4. Подставляя, получаем, что \(a^2 + 2 \equiv 0 \pmod 5\) возможно, если \(a^2 \equiv 3 \pmod 5\), но 3 не является квадратом по модулю 5, значит \(a^2 + 2\) не может быть кратно 5.
Тем не менее, для полноты решения проверим два ближайших варианта \(a^2 + 2 = 5\) и \(a^2 + 2 = 10\), так как именно эти значения при умножении на 5 дадут потенциально квадратные числа 25 и 50.
Если \(a^2 + 2 = 5\), тогда \(a^2 = 3\). Число 3 не является квадратом целого числа, значит такой \(a\) не существует.
Если \(a^2 + 2 = 10\), тогда \(a^2 = 8\). Число 8 также не является квадратом целого числа.
Таким образом, ни одно из этих значений не подходит, и следовательно сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!