ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1231 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что не существует целых коэффициентов \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) таких, что значение многочлена \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) равно 1 при \(x = 19\) и равно 2 при \(x = 62\).

Составим систему уравнений по условию:

\(\begin{cases}
19^3 a + 19^2 b + 19 c + d = 1 \\
62^3 a + 62^2 b + 62 c + d = 2
\end{cases}\)

Вычитая первое уравнение из второго:

\((62^3 a — 19^3 a) + (62^2 b — 19^2 b) + (62 c — 19 c) + d — d = 2 — 1\)

Получаем:

\(a \cdot (62^3 — 19^3) + b \cdot (62^2 — 19^2) + 43 c = 1\)

Разложим разности кубов и квадратов:

\(a (62 — 19)(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 — 19)(62 + 19) + 43 c = 1\)

Вынесем общий множитель \(62 — 19\):

\((62 — 19)(a (62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 + 19)) + 43 c = 1\)

Поделим всё на 43:

\(a (62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) — 81 b + c = \frac{1}{43}\)

Значение дробное, значит \(a, b, c, d\) не могут быть целыми числами.

Составим систему уравнений, исходя из условия задачи. Пусть \(a, b, c, d\) — искомые коэффициенты. Тогда первое уравнение записывается как \(19^3 a + 19^2 b + 19 c + d = 1\), а второе — \(62^3 a + 62^2 b + 62 c + d = 2\). Эти уравнения отражают значения многочлена при точках 19 и 62 соответственно. Чтобы упростить систему, вычтем первое уравнение из второго, что позволит избавиться от свободного члена \(d\).

Вычитание даёт выражение \((62^3 a — 19^3 a) + (62^2 b — 19^2 b) + (62 c — 19 c) + d — d = 2 — 1\). Свободные члены \(d\) сокращаются, и остаётся уравнение \(a (62^3 — 19^3) + b (62^2 — 19^2) + c (62 — 19) = 1\). Здесь мы видим разности степеней, которые можно упростить с помощью формул разности кубов и квадратов. Например, \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), а \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).

Подставим эти формулы в уравнение: \(a (62 — 19)(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 — 19)(62 + 19) + 43 c = 1\), где \(43 = 62 — 19\). Вынесем общий множитель \(62 — 19\) за скобки: \((62 — 19)(a (62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 + 19)) + 43 c = 1\). Поскольку \(62 — 19 = 43\), упростим уравнение до \(43 (a (62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 + 19)) + 43 c = 1\).

Делим обе части уравнения на 43, чтобы избавиться от множителя: \(a (62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2) + b (62 + 19) + c = \frac{1}{43}\). В итоге получаем уравнение с дробным правым значением. Поскольку результат дробный, это означает, что \(a, b, c, d\) не могут быть целыми числами, так как целочисленные значения дали бы целое число справа. Таким образом, система уравнений доказывает невозможность целочисленного решения для данных коэффициентов.